Spazio compatto e di Hausdorff
Sia $(X,s)$ uno spazio di Hausdorff, e sia $(X,t)$ compatto, con $s\subseteq t$. Dimostrare che $s=t$
non capisco proprio come si faccia...
non capisco proprio come si faccia...
Risposte
Inizio con una domanda facile: \((X;\mathcal{T})\) è uno spazio di Hausdorff?
si lo è poichè contiene la prima topologia
Considera un insieme chiuso di \((X;\mathcal{S})\), poi...
Faccio vedere che è un compatto, e compatti disgiunti sono contenuti in aperti disgiunti, dunque ..?
"MrJack":In che topologia? Eppoi come utilizzeresti questo per dimostrare che \(\mathcal{S}=\mathcal{T}\)? Da quanto premesso io ragionerei con gli insiemi chiusi!
Faccio vedere che è un compatto...
non ti seguo allora...
hint : prendi la funzione identica $ i : (X,t)->(X,s)$, è un omeomorfismo?
PS
Come suggerito, ad un certo punto conviene ragionare con i chiusi.
PS
Come suggerito, ad un certo punto conviene ragionare con i chiusi.
Se ragioni con calma, riconoscendo che a priori stai lavorando con due spazi topologici distinti, arriverai a concludere che i chiusi dell'uno sono tutti e soli e chiusi dell'altro: questo era il mio ragionamento; altrimenti puoi dimostrare in modo più elegante che tali spazi topologici sono omeomorfi mediante l'identità \(1_X\) come suggerito da regim.
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