Spazio affine ,euclideo e vettoriale
Salve, qualcuno mi spiega le differenza tra questi spazi per piacere , sto andando un po in confusione , grazie !! Ragazzi se vi annoiate vi sarei grato anche di qualche link a qualche dispensa ben scritta , perchè quello che io ho trovato non fa altro che intontirmi di più!!grazie mille!
Risposte
Tanto per citarne un paio: Geometria 1 di Sernesi e Appunti di Geometria I di Ellia.
@Seneca ho risolto la nozione di campo, però non riesco a capire lo spazio affine euclideo !! Potresti aiutarmi ?? ti ringrazio in anticipo!! Ho visto che implica spazio vettoriale , però mi confonde !!
Riporta la definizione che hai di spazio affine.
Per quanto riguarda lo spazio affine euclideo, questo non è altro che uno spazio affine sul campo reale in cui è stato introdotto un prodotto scalare.
Per quanto riguarda lo spazio affine euclideo, questo non è altro che uno spazio affine sul campo reale in cui è stato introdotto un prodotto scalare.
Uno spazio affine è un insieme di elementi chiamati punti affini (o semplicemente punti) dotato di una funzione
$ phi: AXA->V$
a valori in uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ che soddisfi i requisiti seguenti:
per ogni punto $P$ fissato, la mappa che associa a $Q$ il vettore $phi(P,Q)$ è una biiezione da $A$ in $V$ ;
per ogni terna di punti $(P,Q.R) $ vale la relazione $phi(P,Q)+phi(Q,R)=phi(P,R) $
Wikipedia
Quindi è un insieme dove c'è una funzione che da come risultato dei vettori !! che significa $AXA$ cioè il prodotto cartesiano come lo usa? ?? A valori in uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ , significa che il nostro spazio ha somma e prodotto?? L' ultima condizione non mi è proprio chiara!!
$ phi: AXA->V$
a valori in uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ che soddisfi i requisiti seguenti:
per ogni punto $P$ fissato, la mappa che associa a $Q$ il vettore $phi(P,Q)$ è una biiezione da $A$ in $V$ ;
per ogni terna di punti $(P,Q.R) $ vale la relazione $phi(P,Q)+phi(Q,R)=phi(P,R) $
Wikipedia
Quindi è un insieme dove c'è una funzione che da come risultato dei vettori !! che significa $AXA$ cioè il prodotto cartesiano come lo usa? ?? A valori in uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ , significa che il nostro spazio ha somma e prodotto?? L' ultima condizione non mi è proprio chiara!!
Qualcuno mi dice se ho capito : allora dato uno spazio vettoriale di dimensione $n$ , e definito su un campo $k$ ,sia $E$ uno spazio affine ad esso associato, se dotiamo il nostro spazio vettoriale del prodotto scalre standard otteniamo lo spazio affine euclideo . Giusto?
Qualcuno mi dice se ho capito : allora dato uno spazio vettoriale di dimensione $n$ , e definito su un campo $k$ ,sia $E$ uno spazio affine ad esso associato, se dotiamo il nostro spazio vettoriale del prodotto scalre standard otteniamo lo spazio affine euclideo . Giusto?Ci siete :
qualcuno mi risponde per piacere?? un ulteriore domanda: uno spazio euclideo , può essere ma non è necessariamente uno spazio vettoriale esatto?
"pasqualinux":
$ phi: AXA->V$
a valori in uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ che soddisfi i requisiti seguenti:
per ogni punto $P$ fissato, la mappa che associa a $Q$ il vettore $phi(P,Q)$ è una biiezione da $A$ in $V$ ;
Uno spazio affine euclideo $\mathbb{E}$ non è mai uno spazio vettoriale. Detto $V$ lo spazio vettoriale associato ad $\mathbb{E}$, hai che, fissato $P \in \mathbb{E}$, $V$ ed $\mathbb{E}$ sono in biezione:
$\phi ( \cdot , P) : \mathbb{E} -> V$
@Sergio grazie mille della risposta sei stato chiarissimo.
@Seneca la tua risposta non mi è molto chiara! Ho letto che lo spazio euclideo ,è uno spazio definito sullo spazio $R^n $ ovvero delle n-uple di numeri reali, arricchito con il prodotto scalare standard. Adesso lo spazio euclideo cosi come definito non è uno spazio vettoriale. Se gli aggiungiamo anche le operazioni definite sullo spazio vettoriale, allora lo spazio euclideo diventa anche uno spazio vettoriale giusto?
Preso uno spazio affine , cioè uno spazio dotato di una funzione che ad ogni coppia di punti ne associa un vettore, affinchè questo diventi anche euclideo c'è bisogno che lo dotiamo di prodotto scalare standard esatto? Quindi uno spazio affine euclideo non è uno spazio vettoriale !! Di conseguenza la mia citazione è sbagliata?? Grazie per l'aiuto
Infine poichè lo spazio affine ad ogni coppia di punti associa un vettore , allora di conseguenza uno spazio affine ha valori in uno spazio vettoriale
Quindi uno spazio affine contiene anche vettori , in quanto dotato di una funzione che ad ogni coppia di punti associa un vettore . Quindi è legato al concetto di spazio vettoriale , ma non è uno spazio vettoriale ! giusto?
"pasqualinux":
Qualcuno mi dice se ho capito : allora dato uno spazio vettoriale di dimensione $n$ , e definito su un campo $k$ ,sia $E$ uno spazio affine ad esso associato, se dotiamo il nostro spazio vettoriale del prodotto scalre standard otteniamo lo spazio affine euclideo . Giusto?
@Seneca la tua risposta non mi è molto chiara! Ho letto che lo spazio euclideo ,è uno spazio definito sullo spazio $R^n $ ovvero delle n-uple di numeri reali, arricchito con il prodotto scalare standard. Adesso lo spazio euclideo cosi come definito non è uno spazio vettoriale. Se gli aggiungiamo anche le operazioni definite sullo spazio vettoriale, allora lo spazio euclideo diventa anche uno spazio vettoriale giusto?
Preso uno spazio affine , cioè uno spazio dotato di una funzione che ad ogni coppia di punti ne associa un vettore, affinchè questo diventi anche euclideo c'è bisogno che lo dotiamo di prodotto scalare standard esatto? Quindi uno spazio affine euclideo non è uno spazio vettoriale !! Di conseguenza la mia citazione è sbagliata?? Grazie per l'aiuto
Infine poichè lo spazio affine ad ogni coppia di punti associa un vettore , allora di conseguenza uno spazio affine ha valori in uno spazio vettoriale
"Sergio":
Se guardi il Sernesi, vedi che i vettori considerati in uno spazio affine sono vettori applicati!
Quindi uno spazio affine contiene anche vettori , in quanto dotato di una funzione che ad ogni coppia di punti associa un vettore . Quindi è legato al concetto di spazio vettoriale , ma non è uno spazio vettoriale ! giusto?
"Sergio":
[...] Si deve sempre distinguere tra uno spazio affine come insieme di punti e il codominio di quella funzione \(\phi\), che è uno spazio vettoriale (direi che fosse questo quello che Seneca voleva puntualizzare).
Sì, era questo quello che volevo intendere. Volevo anche specificare che tra lo spazio affine $\mathbb{A}$ e lo spazio vettoriale associato $V$ c'è una corrispondenza biunivoca.
La $\phi$ sostanzialmente dice in che modo gli elementi di $\mathbb{A}$ "interagiscono" con i vettori di $V$.
Lo so che non dovrei chiederlo perchè questa non è una fonte dove trovare risposta a tutte le mie domande, ma di questi argomenti a me servono solo i concetti, cioè la materia che tratto non li approfondisce, mi serve giusto sapere cosa sono , ho visto che il Sernesi ne fa una lunga trattazione , avrei bisogno di qualcosa di riassuntivo e veloce mica mi sapreste consigliare dove vedere? Grazie in anticipo.
Ps non mi criticate !! Grazie
Ps non mi criticate !! Grazie
Non apro un altro post , perché l'argomento è sempre lo stesso, vorrei chiedervi la differenza tra spazio lineare normato e spazio normato, ho letto che lo spazio normato è uno spazio vettoriale in cui ogni vettore ha una lunghezza ! Mentre quello lineare normato ? Grazie .
[quote ]Ho letto che lo spazio euclideo ,è uno spazio definito sullo spazio $R^n$ ovvero delle n-uple di numeri reali, arricchito con il prodotto scalare standard.[\quote]
Ma quindi quando parliamo di $R^n$ non indichiamo uno spazio vettoriale , ma lo spazio delle n-uple di numeri reali giusto?
grazie
[quote ]Ho letto che lo spazio euclideo ,è uno spazio definito sullo spazio $R^n$ ovvero delle n-uple di numeri reali, arricchito con il prodotto scalare standard.[\quote]
Ma quindi quando parliamo di $R^n$ non indichiamo uno spazio vettoriale , ma lo spazio delle n-uple di numeri reali giusto?
grazie
grazie mille Sergio..
Un ultima cosa e non vi rompo più: lo spazio affine euclideo quindi è uno spazio affine , dotato della funzione norma , che permette di determinare la lunghezza dei vettori?
Un ultima cosa e non vi rompo più: lo spazio affine euclideo quindi è uno spazio affine , dotato della funzione norma , che permette di determinare la lunghezza dei vettori?
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