Spazio affine e sistemi di riferimento

[Simonebarr93]

Ciao a tutti.
Sto cercando di capire questi argomenti e avrei delle domande concettuali da porvi.
Da quello che ho capito uno spazio affine è un insieme A non vuoto i cui elementi sono detti punti e per cui esiste una funzione che associa a due punti di A uno e uno solo elemento dello spazio vettoriale delle n-ple Rn. Inoltre deve valere che, detta phi tale funzione, phi(C,D)+phi(D, E)=phi(C,E).
Allora mi sembra di capire che lo spazio affine serva per creare in qualche modo l'idea di spazio fisico, attraverso i punti. La dimensione dello spazio è data dalla dimensione dello spazio vettoriale associato(2 o 3). E' corretto?

Definito lo spazio affine, per poter parlare di posizione dei punti dello spazio, direzioni e versi si deve definire un sistema di riferimento affine. Per fare ciò fissiamo una base di Rn B=(b1, b2) e un punto O dello spazio affine, diciamo allora che un punto P ha coordinate in tale spazio: phi(O,P) rispetto alla base scelta. Così i vettori della base, applicati all'origine individueranno due punti che avranno coordinate (nel caso di due dimensioni) B1=(1,0) e B2=(0,1).
Possiamo interpretare graficamente questa cosa disegnando un punto O detto origine dello spazio, e i vettori della base scelta di Rn applicati in O come frecce ugualmente lunghe e non parallele che partono da O e arrivano ai punti B1 e B2. Allora un punto di coordinate (x,y) si disegna muovendosi x volte nella direzione di b1 e y volte nella direzione di b2. E' corretto?

Ora per la seconda condizione dello spazio affine, immagino che ci serva perché cosi due spostamenti consecutivi equivalgono ad uno che va direttamente dal punto di partenza del primo all'arrivo del secondo. E' corretto?

[Simonebarr93]

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[Epimenide93]

"Simonebarr93":Da quello che ho capito uno spazio affine è un insieme A non vuoto i cui elementi sono detti punti e per cui esiste una funzione che associa a due punti di A uno e uno solo elemento dello spazio vettoriale delle n-ple Rn. Inoltre deve valere che, detta phi tale funzione, phi(C,D)+phi(D, E)=phi(C,E).

La definizione che dai è quella di spazio affine reale, non di generico spazio affine, ed è corretta

"Simonebarr93":Allora mi sembra di capire che lo spazio affine serva per creare in qualche modo l'idea di spazio fisico, attraverso i punti. La dimensione dello spazio è data dalla dimensione dello spazio vettoriale associato(2 o 3). E' corretto?

Si può usare anche per modellizzare lo spazio fisico, ma non è che gli spazi affini servono solo a quello.

"Simonebarr93":Definito lo spazio affine, per poter parlare di posizione dei punti dello spazio, direzioni e versi si deve definire un sistema di riferimento affine. Per fare ciò fissiamo una base di Rn B=(b1, b2) e un punto O dello spazio affine, diciamo allora che un punto P ha coordinate in tale spazio: phi(O,P) rispetto alla base scelta. Così i vettori della base, applicati all'origine individueranno due punti che avranno coordinate (nel caso di due dimensioni) B1=(1,0) e B2=(0,1).
Possiamo interpretare graficamente questa cosa disegnando un punto O detto origine dello spazio, e i vettori della base scelta di Rn applicati in O come frecce ugualmente lunghe e non parallele che partono da O e arrivano ai punti B1 e B2. Allora un punto di coordinate (x,y) si disegna muovendosi x volte nella direzione di b1 e y volte nella direzione di b2. E' corretto?

Su per giù... Non sto a spiegare perché non lo è del tutto, in quanto rischio di confonderti le idee, comunque l'idea intuitiva ce l'hai ed è buona.

"Simonebarr93":Ora per la seconda condizione dello spazio affine, immagino che ci serva perché cosi due spostamenti consecutivi equivalgono ad uno che va direttamente dal punto di partenza del primo all'arrivo del secondo. E' corretto?

Tra le altre cose, sì.