Spazi vettoriali su campo $\mathbb{Q}$
Salve a tutti,
Mi chiedevo quali potessero essere le applicazioni sia teoriche che pratiche di questi bellissimi spazi vettoriali dove non funziona niente di mentalmente sano. Io ho potuto osservarne le applicazioni solo in termini di esempi/controesempi solo nella matematica. Però sarei veramente curioso di capire come può essere utile in qualche branca scientifica il fatto che si possano costruire forme bilineari non degeneri e non definite che non ammettono vettori isotropi o che non sia possibile avere una forma canonica di Jordan semplice come quelle che si hanno su $\mathbb{R}$ e su $\mathbb{C}$ visto che si possono avere polinomi irriducibili di grado qualsiasi.
Mi chiedo cioè se esista qualche campo della matematica, della fisica, della chimica o dell'ingegneria dove un campo così problematico sia perfetto per farci dell'algebra o della vera e propria geometria che risolva dei problemi più o meno concreti.
grazie a tutti
Mi chiedevo quali potessero essere le applicazioni sia teoriche che pratiche di questi bellissimi spazi vettoriali dove non funziona niente di mentalmente sano. Io ho potuto osservarne le applicazioni solo in termini di esempi/controesempi solo nella matematica. Però sarei veramente curioso di capire come può essere utile in qualche branca scientifica il fatto che si possano costruire forme bilineari non degeneri e non definite che non ammettono vettori isotropi o che non sia possibile avere una forma canonica di Jordan semplice come quelle che si hanno su $\mathbb{R}$ e su $\mathbb{C}$ visto che si possono avere polinomi irriducibili di grado qualsiasi.
Mi chiedo cioè se esista qualche campo della matematica, della fisica, della chimica o dell'ingegneria dove un campo così problematico sia perfetto per farci dell'algebra o della vera e propria geometria che risolva dei problemi più o meno concreti.
grazie a tutti
Risposte
Credo che nella pratica, ogni calcolatore utilizzi gli spazi vettoriali sul campo razionale...
A me non è chiaro cosa non ti piace di \({\sf Vect}_{\mathbb Q}\).
"solaàl":
A me non è chiaro cosa non ti piace di \({\sf Vect}_{\mathbb Q}\).
veramente è il contrario
. Mi piace tanto. E' per quello che volevo saperne di più. Purtroppo non ho trovato tanta roba. Nemmeno in inglese. E' ricco di particolarità e mi chiedevo se qualcuno ci avesse mai fatto una teoria figa esclusivamente su di lui
"j18eos":
Credo che nella pratica, ogni calcolatore utilizzi gli spazi vettoriali sul campo razionale...
Da quel poco che ne so in questo campo si cerca di emulare le proprietà dei campi continui come $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. Nel senso che si studiano decomposizioni ad hoc che siano numericamente stabili e riducano la complessità computazionale e i vari errori numerici ma non conosco utilizzi computazionali che tengano volontariamente conto (e sfruttino) la sua struttura algebrica molto particolare e le conseguenze che ne derivano. Cosa ci si potrebbe fare di "utile" con il discorso su Jordan o sui vettori isotropi che dicevo prima ad esempio?
Ci sono situazioni reali che possano essere modellizzate con spazi vettoriali che abbiano queste proprietà insolite?
Lo dico perchè studiando mi è sempre sembrato che $\mathbb{Q}$ fosse un po' il mondo dei controesempi e delle cose dove le proprietà funzionano male o non funzionano affatto. Speravo in una sorta di rivincita e rivalutazione di questo campo andando avanti con gli studi. Ma non mi è sembrato. Quando diedi l'esame di topologia ad esempio mi ricordo che era il dominio delle cose "malate". Ma chi ha detto che il mondo in realtà non sia più "malato" di quanto si pensi?
Che cos'è una situazione "reale"? Gli spazi vettoriali su \(\mathbb Q\) hanno una loro teoria; come sai, la classificazione delle forme quadratiche dipende dal campo; un teorema di Minkowski classifica completamente quelle su \(\mathbb Q\), e questo teorema è stato esteso poi da Hasse ad arbitrari campi di numeri.
A questo punto, all Hell breaks loose (come si dice in italiano?) perché la classificazione delle ("di certe") forme quadratiche su un generico anello mescola teoria dei numeri, geometria algebrica, analisi complessa, combinatoria, teoria dei gruppi di Lie...
Allo stesso modo, la teoria "di Jordan" su \(\mathbb Q\) si può approcciare con le forme canoniche razionali, o con la teoria dei fattori invarianti, la forma canonica di Smith...
A questo punto, all Hell breaks loose (come si dice in italiano?) perché la classificazione delle ("di certe") forme quadratiche su un generico anello mescola teoria dei numeri, geometria algebrica, analisi complessa, combinatoria, teoria dei gruppi di Lie...
Allo stesso modo, la teoria "di Jordan" su \(\mathbb Q\) si può approcciare con le forme canoniche razionali, o con la teoria dei fattori invarianti, la forma canonica di Smith...
"solaàl":
Che cos'è una situazione "reale"?
Avevo in mente un contesto di ricerca scientifica non necessariamente matematico puro. Mi chiedevo se fosse noto qualche campo di applicazione principalmente fisico in cui fare geometria con uno spazio vettoriale fatto in quella maniera potesse apportare dei vantaggi in termini di modellizzazione della porzione di realtà in esame. Capisco la bellezza intrinseca degli oggetti matematici in sè ma a volte uno si chiede se esiste un contesto in cui questi oggetti così astratti possano significare qualcosa di più "tangibile".
Ad ogni modo dalla tua risposta deduco che l'utilità diretta di oggetti di questo tipo sembra principalmente all'interno della matematica stessa. Poi per carità... immagino perfettamente tutte le implicazioni in senso indiretto che lo studio di questi oggetti ha nella costruzione e descrizione dei modelli per la fisica, la chimica, l'ingegneria ecc.
Comunque esiste una trattazione matematica organica che prenda in esame spazi vettoriali soltanto razionali e parla approfonditamente di tutti i risultati che valgono solo per essi e non per generico campo $\mathbb{K}$?
grazie per la risposta
Non credo ci sia una risposta semplice, perché nelle applicazioni usuali tutte le matrici sono reali o complesse. Però so che la teoria delle stringhe usa parecchia geometria algebrica, e immagino che lì ci siano nascoste varie cose del tipo che ti può interessare. Il punto di partenza è qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Mirror_sy ... conjecture
Come puoi vedere si parla di "curve razionali", che però non so se facciano riferimento a spazi vettoriali razionali, immagino che sia più difficile di così. Di queste cose non so niente, ne ho solo sentito parlare da compagni di ufficio.
https://en.wikipedia.org/wiki/Mirror_sy ... conjecture
Come puoi vedere si parla di "curve razionali", che però non so se facciano riferimento a spazi vettoriali razionali, immagino che sia più difficile di così. Di queste cose non so niente, ne ho solo sentito parlare da compagni di ufficio.
"dissonance":
Non credo ci sia una risposta semplice, perché nelle applicazioni usuali tutte le matrici sono reali o complesse. Però so che la teoria delle stringhe usa parecchia geometria algebrica, e immagino che lì ci siano nascoste varie cose del tipo che ti può interessare. Il punto di partenza è qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Mirror_sy ... conjecture
Come puoi vedere si parla di "curve razionali", che però non so se facciano riferimento a spazi vettoriali razionali, immagino che sia più difficile di così. Di queste cose non so niente, ne ho solo sentito parlare da compagni di ufficio.
ti ringrazio moltissimo
No, una curva razionale è un'altra cosa
No, una generica varietà proiettiva (irriducibile) \(\displaystyle X\) di dimensione \(\displaystyle n\) (su un campo \(\displaystyle\mathbb{K}\)) si definisce razionale se esiste un sottoinsieme aperto \(\displaystyle U\) denso regolarmente isomorfo a un sottoinsieme aperto \(\displaystyle V\subseteq\mathbb{P}^n\) denso.
Non c'entra nulla il campo dei numeri razionali!
...comunque la domanda sui \(\displaystyle\mathbb{Q}\)-spazi vettoriali m'incuriosisce non poco!
Non c'entra nulla il campo dei numeri razionali!
...comunque la domanda sui \(\displaystyle\mathbb{Q}\)-spazi vettoriali m'incuriosisce non poco!
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