Spazi vettoriali particolari
Sia $KsubeCC$ un campo di numeri. Si dimostri che se $A,HinM_n(K)$ sono matrici simili allora $dim_K{BinM_n(K)| AB=BA}=dim_K{BinM_n(K)| HB=BH}$.
Io ho pensato così: siccome $A,H$ sono simili rappresentano lo stesso endomorfismo $f$ rispetto a basi diverse $B_1$ e $B_2$. Quindi intanto mi procuro una base di endomorfismi ${g_1,...,g_n}$ che commutano con $f$ e da qui mi calcolo le matrici $M_(B_1)(g_i)$ e $M_(B_2)(g_i)$ con $i=1,...,n$ che commutano rispettivamente con $A$ e $H$ e quindi ottengo che ${M_(B_1)(g_1),...,M_(B_1)(g_n)}$ e ${M_(B_2)(g_1),...,M_(B_2)(g_n)}$ sono delle basi dei due sottospazi vettoriali ed ho fatto.
Io ho pensato così: siccome $A,H$ sono simili rappresentano lo stesso endomorfismo $f$ rispetto a basi diverse $B_1$ e $B_2$. Quindi intanto mi procuro una base di endomorfismi ${g_1,...,g_n}$ che commutano con $f$ e da qui mi calcolo le matrici $M_(B_1)(g_i)$ e $M_(B_2)(g_i)$ con $i=1,...,n$ che commutano rispettivamente con $A$ e $H$ e quindi ottengo che ${M_(B_1)(g_1),...,M_(B_1)(g_n)}$ e ${M_(B_2)(g_1),...,M_(B_2)(g_n)}$ sono delle basi dei due sottospazi vettoriali ed ho fatto.
Risposte
Mmm penso che la cosa sia leggermente più complicata.
Io a mio tempo lo feci così:
Chiamiamo $W=\{B| AB=BA\}$ e $V=\{B|HB=BH\}$ e consideriamo l'applicazione lineare $C_A:M_n(\mathbb(K))\to M_n(\mathbb(K))$ definita da: $C_A(B)=AB-BA$.
E' chiaro che $W=Ker(C_A)$.
Dato che $A$ e $H$ sono simili, sia $M$ la matrice che realizza la similitudine, ovvero $MAM^(-1)=H$.
Considero allora l'applicazione lineare
$L_M: M_n(\mathbb(K))\to M_n(\mathbb(K))$ data da: $L_M(B)=MBM^(-1)$.
Si verifica facilmente che $L_M$ è un isomorfismo.
Dico ora che $L_M(W)= V$, infatti:
Se $B\in W$ è una matrice tale per cui $AB=BA$, allora $L_M(B)=MBM^(-1)$ commuta con $H$, questo perché se $AB=BA$, essendo $A=M^(-1)HM$ ho che:
$M^(-1)HMB=BM^(-1)HM$ da cui, moltiplicando a destra per $M^(-1)$ e a sinistra per $M$ ho la tesi.
(ripercorrendo il ragionamento all'indietro, ho che se $B$ commuta con $H$, allora è possibile scrivere $B=MBM^(-1)$)
Dunque $L_M$ è un isomorfismo che manda $W$ in $V$, per cui hanno necessariamente la stessa dimensione.
Questo fatto è molto comodo, poiché ti dice che per calcolare la dimensione del commutatore di una matrice $A$, basta ragionare con la forma di Jordan di $A$.
Io a mio tempo lo feci così:
Chiamiamo $W=\{B| AB=BA\}$ e $V=\{B|HB=BH\}$ e consideriamo l'applicazione lineare $C_A:M_n(\mathbb(K))\to M_n(\mathbb(K))$ definita da: $C_A(B)=AB-BA$.
E' chiaro che $W=Ker(C_A)$.
Dato che $A$ e $H$ sono simili, sia $M$ la matrice che realizza la similitudine, ovvero $MAM^(-1)=H$.
Considero allora l'applicazione lineare
$L_M: M_n(\mathbb(K))\to M_n(\mathbb(K))$ data da: $L_M(B)=MBM^(-1)$.
Si verifica facilmente che $L_M$ è un isomorfismo.
Dico ora che $L_M(W)= V$, infatti:
Se $B\in W$ è una matrice tale per cui $AB=BA$, allora $L_M(B)=MBM^(-1)$ commuta con $H$, questo perché se $AB=BA$, essendo $A=M^(-1)HM$ ho che:
$M^(-1)HMB=BM^(-1)HM$ da cui, moltiplicando a destra per $M^(-1)$ e a sinistra per $M$ ho la tesi.
(ripercorrendo il ragionamento all'indietro, ho che se $B$ commuta con $H$, allora è possibile scrivere $B=MBM^(-1)$)
Dunque $L_M$ è un isomorfismo che manda $W$ in $V$, per cui hanno necessariamente la stessa dimensione.
Questo fatto è molto comodo, poiché ti dice che per calcolare la dimensione del commutatore di una matrice $A$, basta ragionare con la forma di Jordan di $A$.
"Lebesgue":
Dico ora che $L_M(W)= V$, infatti:
Se $B\in W$ è una matrice tale per cui $AB=BA$, allora $L_M(B)=MBM^(-1)$ commuta con $H$, questo perché se $AB=BA$, essendo $A=M^(-1)HM$ ho che:
$M^(-1)HMB=BM^(-1)HM$ da cui, moltiplicando a destra per $M^(-1)$ e a sinistra per $M$ ho la tesi.
(ripercorrendo il ragionamento all'indietro, ho che se $B$ commuta con $H$, allora è possibile scrivere $B=MBM^(-1)$)
Non ho capito questa parte, tu hai detto che $MBM^(-1)$ commuta con $H$, ho capito che hai usato $AB=BA$ con $A=M^-1HM$ da cui sostituendo $ M^(-1)HMB=BM^(-1)HM $ che come hai detto tu viene $HMBM^-1=MBM^-1H$ e poi da qua non ho capito.
Devi dimostrare che se $B$ è tale per cui $AB=BA$, allora l'immagine di $B$ tramite $L_M$, ovvero $MBM^(-1)$ commuta con $H$.
Quello che sto dimostrando è che $L_M(W)=V$ ovvero che l'isomorfismo $L_M$ manda lo spazio delle matrici che commutano con $A$ nello spazio delle matrici che commutano con $H$.
Tuttavia non sto dicendo che se $B$ commuta con $A$, allora $B$ commuta con $H$.
Sto dicendo che se $B$ commuta con $A$, allora $L_M(B)$ commuta con $H$
Quello che sto dimostrando è che $L_M(W)=V$ ovvero che l'isomorfismo $L_M$ manda lo spazio delle matrici che commutano con $A$ nello spazio delle matrici che commutano con $H$.
Tuttavia non sto dicendo che se $B$ commuta con $A$, allora $B$ commuta con $H$.
Sto dicendo che se $B$ commuta con $A$, allora $L_M(B)$ commuta con $H$
"Lebesgue":
Devi dimostrare che se $B$ è tale per cui $AB=BA$, allora l'immagine di $B$ tramite $L_M$, ovvero $MBM^(-1)$ commuta con $H$.
E se $B$ commuta con $H$?
"andreadel1988":
E se $B$ commuta con $H$?
Lascio a te la dimostrazione, è praticamente identica.
"Lebesgue":
[quote="andreadel1988"]
E se $B$ commuta con $H$?
Lascio a te la dimostrazione, è praticamente identica.
[/quote]
A ok ho capito, basta rifare il tuo ragionamento quando dimostri che se $B$ commuta con $A$ allora $MBM^-1$ commuta con $H$
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