Spazi vettoriali notevoli di dimensione infinita
Ciao a tutti, sono pier paolo e sono iscritto al primo anno di matematica 
Vorrei chiedervi aiuto su delle questioni particolari di algebra lineare che non riesco a spiegarmi bene ricorrendo all'usuale teoria degli spazi vettoriali. Si tratta in particolare di spazi vettoriali di dimensione infinita.
1) \(\displaystyle \mathbb{R} \) spazio vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{Q} \)
Si verifica facilmente che l'insieme dei numeri reali \(\displaystyle \mathbb{R} \), munito dell'usuale operazione di somma e di prodotto per un numero razionale, è uno spazio vettoriale. Avevo ipotizzato che una base di tale spazio potesse essere l'insieme \(\displaystyle B_1 = \{10^n / n\in \mathbb{Z}\} \). Essa è un sistema di generatori perché ogni numero reale x è somma di prodotti di numeri interi per potenze di 10, in numero finito o infinito a seconda se x è decimale illimitato o meno. Inoltre è indipendente perché, se \(\displaystyle \sum_{n\in \mathbb{Z}} a_n 10^n = 0\), necessariamente \(\displaystyle a_n = 0 \forall n \in \mathbb{Z} \), perché in caso contrario x avrebbe una cifra non nulla e sarebbe quindi diverso da zero. Ora però qui c'è sicuramente qualcosa che non quadra, perché un numero reale non dipenderebbe in modo unico da questa "base" e perché così si otterrebbe che tale spazio vettoriale ha dimensione numerabile, cosa che intuitivamente mi suona un po' strana.
2) Sia \(\displaystyle \mathfrak{F} = \{(a_n)_{n \in \mathbb{N}}\}\) l'insieme di tutte le successioni di numeri reali e si considerino le operazioni:
\(\displaystyle (a_n) + (b_n) = (a_n+b_n) \)
\(\displaystyle k (a_n) = (k a_n) (k \in \mathbb{R})\)
Anche qui è facile verificare che \(\displaystyle \mathfrak{F} \) è spazio vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{R} \); in particolare il vettore nullo è la successione \(\displaystyle (0_n) \) tale che \(\displaystyle (0_n) = 0 \forall n \in \mathbb{N} \). Ora, sia, \(\displaystyle \forall k \in \mathbb{N}, (e^k_n) \) la successione definita ponendo \(\displaystyle (e^k_n) = 1 \) se \(\displaystyle k = n \) e \(\displaystyle (e^k_n) = 0 \) se \(\displaystyle k \neq n \). \(\displaystyle B_2 = \{(e^k_n) / k \in \mathbb{N}\} \) è una base di \(\displaystyle \mathfrak{F} \). Infatti, se \(\displaystyle (a_n) \in \mathfrak{F}, (a_n) = \sum_{k \in \mathbb{N}} a_k (e^k_n) \), quindi \(\displaystyle B_2 \) genera \(\displaystyle \mathcal{F} \); inoltre, se \(\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{N}} a_k (e^k_n) = (0_n) \), necessariamente \(\displaystyle a_k = 0 \forall k \in \mathbb{N} \), perché in caso contrario almeno uno dei termini della successione sarebbe non nullo. Da qui seguirebbe che tale spazio ha dimensione numerabile.
3) Sia \(\displaystyle \mathfrak{L} \) l'insieme delle funzioni di \(\displaystyle \mathbb{R} \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \) e analogamente all'esempio precedente si ponga:
\(\displaystyle (f+g)(x) = f(x) + g(x) \)
\(\displaystyle (kf)(x) = kf(x) \forall x \in \mathbb{R}, \forall k \in \mathbb{R} \)
Anche qui risulta che \(\displaystyle \mathfrak{L} \) è spazio vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{R} \). Se a è un numero reale, sia \(\displaystyle f_a \) la funzione definita ponendo \(\displaystyle f_a(a) = 1\) e \(\displaystyle f_a(x) = 0 \forall x \neq a \). \(\displaystyle B_3 = \{f_a / a \in \mathbb{R}\ \} \) è una base di \(\displaystyle \mathfrak{L} \) e anche questo si vede in modo identico all'esempio precedente; dunque una base di \(\displaystyle \mathfrak{L} \) ha la potenza del continuo.
4) Il sottoinsieme di \(\displaystyle \mathfrak{L} \) delle funzioni continue e quello delle funzioni derivabili costituiscono dei sottospazi di \(\displaystyle \mathfrak{L} \), perché stabili rispetto alla somma interna e al prodotto esterno. In tal caso però non ho proprio idea di come costruirne una base!
Più in generale, il problema di fondo di queste costruzioni è che tutte utilizzano combinazioni lineari infinite, mentre le combinazioni lineari che ho studiato sono sempre state, per definizione, finite anche in spazi di dimensione infinita. Per quanto riguarda il primo, poiché la somma \(\displaystyle \sum_{n\in \mathbb{Z}} a_n 10^n \) si può definire solo come limite ed è convergente se e solo se l'insieme \(\displaystyle \{ k \in \mathbb{Z} / a_k \neq 0 \} \) è superiormente limitato, credo proprio che questo ragionamento non va bene. Per gli altri invece una combinazione lineare infinita degli elementi della base è perfettamente sensata, poiché implica semplicemente che vi sono infiniti elementi del dominio che hanno immagine diversa da zero. Cosa ne pensate?
Vorrei chiedervi aiuto su delle questioni particolari di algebra lineare che non riesco a spiegarmi bene ricorrendo all'usuale teoria degli spazi vettoriali. Si tratta in particolare di spazi vettoriali di dimensione infinita.1) \(\displaystyle \mathbb{R} \) spazio vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{Q} \)
Si verifica facilmente che l'insieme dei numeri reali \(\displaystyle \mathbb{R} \), munito dell'usuale operazione di somma e di prodotto per un numero razionale, è uno spazio vettoriale. Avevo ipotizzato che una base di tale spazio potesse essere l'insieme \(\displaystyle B_1 = \{10^n / n\in \mathbb{Z}\} \). Essa è un sistema di generatori perché ogni numero reale x è somma di prodotti di numeri interi per potenze di 10, in numero finito o infinito a seconda se x è decimale illimitato o meno. Inoltre è indipendente perché, se \(\displaystyle \sum_{n\in \mathbb{Z}} a_n 10^n = 0\), necessariamente \(\displaystyle a_n = 0 \forall n \in \mathbb{Z} \), perché in caso contrario x avrebbe una cifra non nulla e sarebbe quindi diverso da zero. Ora però qui c'è sicuramente qualcosa che non quadra, perché un numero reale non dipenderebbe in modo unico da questa "base" e perché così si otterrebbe che tale spazio vettoriale ha dimensione numerabile, cosa che intuitivamente mi suona un po' strana.
2) Sia \(\displaystyle \mathfrak{F} = \{(a_n)_{n \in \mathbb{N}}\}\) l'insieme di tutte le successioni di numeri reali e si considerino le operazioni:
\(\displaystyle (a_n) + (b_n) = (a_n+b_n) \)
\(\displaystyle k (a_n) = (k a_n) (k \in \mathbb{R})\)
Anche qui è facile verificare che \(\displaystyle \mathfrak{F} \) è spazio vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{R} \); in particolare il vettore nullo è la successione \(\displaystyle (0_n) \) tale che \(\displaystyle (0_n) = 0 \forall n \in \mathbb{N} \). Ora, sia, \(\displaystyle \forall k \in \mathbb{N}, (e^k_n) \) la successione definita ponendo \(\displaystyle (e^k_n) = 1 \) se \(\displaystyle k = n \) e \(\displaystyle (e^k_n) = 0 \) se \(\displaystyle k \neq n \). \(\displaystyle B_2 = \{(e^k_n) / k \in \mathbb{N}\} \) è una base di \(\displaystyle \mathfrak{F} \). Infatti, se \(\displaystyle (a_n) \in \mathfrak{F}, (a_n) = \sum_{k \in \mathbb{N}} a_k (e^k_n) \), quindi \(\displaystyle B_2 \) genera \(\displaystyle \mathcal{F} \); inoltre, se \(\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{N}} a_k (e^k_n) = (0_n) \), necessariamente \(\displaystyle a_k = 0 \forall k \in \mathbb{N} \), perché in caso contrario almeno uno dei termini della successione sarebbe non nullo. Da qui seguirebbe che tale spazio ha dimensione numerabile.
3) Sia \(\displaystyle \mathfrak{L} \) l'insieme delle funzioni di \(\displaystyle \mathbb{R} \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \) e analogamente all'esempio precedente si ponga:
\(\displaystyle (f+g)(x) = f(x) + g(x) \)
\(\displaystyle (kf)(x) = kf(x) \forall x \in \mathbb{R}, \forall k \in \mathbb{R} \)
Anche qui risulta che \(\displaystyle \mathfrak{L} \) è spazio vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{R} \). Se a è un numero reale, sia \(\displaystyle f_a \) la funzione definita ponendo \(\displaystyle f_a(a) = 1\) e \(\displaystyle f_a(x) = 0 \forall x \neq a \). \(\displaystyle B_3 = \{f_a / a \in \mathbb{R}\ \} \) è una base di \(\displaystyle \mathfrak{L} \) e anche questo si vede in modo identico all'esempio precedente; dunque una base di \(\displaystyle \mathfrak{L} \) ha la potenza del continuo.
4) Il sottoinsieme di \(\displaystyle \mathfrak{L} \) delle funzioni continue e quello delle funzioni derivabili costituiscono dei sottospazi di \(\displaystyle \mathfrak{L} \), perché stabili rispetto alla somma interna e al prodotto esterno. In tal caso però non ho proprio idea di come costruirne una base!
Più in generale, il problema di fondo di queste costruzioni è che tutte utilizzano combinazioni lineari infinite, mentre le combinazioni lineari che ho studiato sono sempre state, per definizione, finite anche in spazi di dimensione infinita. Per quanto riguarda il primo, poiché la somma \(\displaystyle \sum_{n\in \mathbb{Z}} a_n 10^n \) si può definire solo come limite ed è convergente se e solo se l'insieme \(\displaystyle \{ k \in \mathbb{Z} / a_k \neq 0 \} \) è superiormente limitato, credo proprio che questo ragionamento non va bene. Per gli altri invece una combinazione lineare infinita degli elementi della base è perfettamente sensata, poiché implica semplicemente che vi sono infiniti elementi del dominio che hanno immagine diversa da zero. Cosa ne pensate?
Risposte
Non ho letto tutto, ma ti posso dire che le combinazioni lineari devono essere finite (per evitare problemi di convergenza, concetto che in ambito generale non si vuole nemmeno definire). Per cui la famiglia che hai dato nel primo esempio non genera $RR$.
Sul primo ero quasi sicuro di aver sbagliato, forse avrei fatto meglio a evitare di postarlo 
Sì ma non riuscivi a capire il motivo e te l'ho detto! Adesso leggo il resto, anche se non sono assolutamente un esperto.
Mi sembra che ci sia dappertutto lo stesso problema . Nessuna di quelle che hai citato è davvero una base. Nell'esercizio sullo spazio di funzioni servirebbe addirittura una sommatoria non numerabile che è un concetto non definito nemmeno in ambienti buoni.
Edit: ho trovato questa cosa che potrebbe interessarti http://it.wikipedia.org/wiki/Base_di_Schauder
. Nessuna di quelle che hai citato è davvero una base. Nell'esercizio sullo spazio di funzioni servirebbe addirittura una sommatoria non numerabile che è un concetto non definito nemmeno in ambienti buoni.Edit: ho trovato questa cosa che potrebbe interessarti http://it.wikipedia.org/wiki/Base_di_Schauder
Nel frattempo mi sono accorto che quella "base" di \(\displaystyle \mathbb{R} \) su \(\displaystyle \mathbb{Q} \) non è nemmeno indipendente; ad esempio, \(\displaystyle 1 \cdot 10 - 10 = 0 \). Più in generale, tale base deve contenere un solo numero razionale perché, se a e b sono numeri razionali distinti, \(\displaystyle a +(-a/b) b = 0 \) e \(\displaystyle \{a, b \} \) è dipendente.
Altri sottospazi di F e L che mi piacerebbe studiare meglio sono quelli, rispettivamente, delle successioni e funzioni limitate, oppure quelli di L delle funzioni periodiche. In particolare per le ultime, so che esse si possono esprimere come combinazioni lineari di funzioni trigonometriche fondamentali (serie di Fourier) ma non ho gli strumenti per capire tale argomento; tuttavia leggendo l'esempio in fondo alla pagina http//it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Fourier mi sembra che si sia ottenuta una funzione periodica da una combinazione lineare infinita e che, parlando di riferimento ortonormale, si stia implicitamente assumendo che l'insieme delle funzioni periodiche abbia una struttura vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{R} \)! Grazie per il link, ci darò un'occhiata quanto prima :)
Altri sottospazi di F e L che mi piacerebbe studiare meglio sono quelli, rispettivamente, delle successioni e funzioni limitate, oppure quelli di L delle funzioni periodiche. In particolare per le ultime, so che esse si possono esprimere come combinazioni lineari di funzioni trigonometriche fondamentali (serie di Fourier) ma non ho gli strumenti per capire tale argomento; tuttavia leggendo l'esempio in fondo alla pagina http//it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Fourier mi sembra che si sia ottenuta una funzione periodica da una combinazione lineare infinita e che, parlando di riferimento ortonormale, si stia implicitamente assumendo che l'insieme delle funzioni periodiche abbia una struttura vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{R} \)! Grazie per il link, ci darò un'occhiata quanto prima :)
@pier.paolo: Sono tutte questioni che necessitano di strumenti più avanzati per essere trattate. In dimensione infinita le sole somme algebriche dicono ben poco sulla struttura di uno spazio vettoriale e diventa necessario introdurre qualche strumento in termini del quale definire somme infinite e passaggi al limite. La disciplina che si occupa di studiare gli spazi così ottenuti si chiama analisi funzionale.
Un esempio di spazio vettoriale di dimensione infinita che si puo' descrivere facilmente con le somme finite e che il Pier Paolo puo' facilmente capire senza ricorrere a sofisticazioni matematiche e' il seguente:
Sia $V$ lo spazio vettoriale di tutti i polinomi in una variabile.
Esercizio per Pier Paolo: trovare una base.
Sia $V$ lo spazio vettoriale di tutti i polinomi in una variabile.
Esercizio per Pier Paolo: trovare una base.
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