Spazi vettoriali normati di funzioni di 1 variabile complessa
Nel libro "Interpolationa and approximation" di P. J. Davis, più precisamente nel capitolo 7, si lavora in spazi vettoriali normati $V$ e si definisce, dati ${x_i}_{i=1}^n \subset V$ insieme di vettori linearmente indipendenti e $y \in V$, la migliore approssimazione di $y$ come combinazione lineare dei ${x_i}_{i=1}^n$ come quel vettore $\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i$ che minimizza $||y- \sum_{i=1}^n \alpha_i x_i||$.
Si dimostra poi l'esistenza della migliore approssimazione (th. 7.4.1).
Poco dopo come corollario 7.4.4 si trova (traduco):
"Sia $ B $ una regione limitata del piano complesso $ \mathbb{C} $. Sia $f: B \rightarrow \mathbb{C}$ analitica in $B$ e continua in $ \bar{B} $.
Il problema di trovare $ \min _{a_0,...a_n\in\mathbb{C}} \max _{z\in S} | f(z)-(a_0+a_1z+...+a_nz^n)| $ ha soluzione ".
Qui è stato considerato:
- come spazio vettoriale $C:={f:B \rightarrow \mathbb{C}$ continua su $ \bar{B} $ e analitica su $B}$
-come norma $||f||:=\max _{z\in B} |f(z)|$
Giusto?
E si applica il teorema 7.4.1.
La mia domanda è la seguente:
Come mai si richiede che le funzioni di $C$ siano analitiche su $B$? é una condizone veramente necessaria?
L'unica possibile ragione che posso immaginare è che senza tale requisito $C$ non sia uno spazio vettoriale o che $||f||$ non sia una norma (la seconda mi convince di meno).
Suggerimenti?
Si dimostra poi l'esistenza della migliore approssimazione (th. 7.4.1).
Poco dopo come corollario 7.4.4 si trova (traduco):
"Sia $ B $ una regione limitata del piano complesso $ \mathbb{C} $. Sia $f: B \rightarrow \mathbb{C}$ analitica in $B$ e continua in $ \bar{B} $.
Il problema di trovare $ \min _{a_0,...a_n\in\mathbb{C}} \max _{z\in S} | f(z)-(a_0+a_1z+...+a_nz^n)| $ ha soluzione ".
Qui è stato considerato:
- come spazio vettoriale $C:={f:B \rightarrow \mathbb{C}$ continua su $ \bar{B} $ e analitica su $B}$
-come norma $||f||:=\max _{z\in B} |f(z)|$
Giusto?
E si applica il teorema 7.4.1.
La mia domanda è la seguente:
Come mai si richiede che le funzioni di $C$ siano analitiche su $B$? é una condizone veramente necessaria?
L'unica possibile ragione che posso immaginare è che senza tale requisito $C$ non sia uno spazio vettoriale o che $||f||$ non sia una norma (la seconda mi convince di meno).
Suggerimenti?
Risposte
La lancio così, senza pensarci troppo: le funzioni analitiche sono approssimabili quanto si vuole da funzioni polinomiali!
Sicuramente non dici nulla di sbagliato, ma non mi porti tanto più lontano 
Faccio un secondo tentativo: la condizione dell'analiticità è necessaria in quanto lo stesso problema non avrebbe soluzione per la funzione (non analitica) \(\displaystyle f(z)=\overline{z}\)!
Sbaglio?
Sbaglio?
"andsca94":
La mia domanda è la seguente:
Come mai si richiede che le funzioni di $C$ siano analitiche su $B$? é una condizone veramente necessaria?
L'unica possibile ragione che posso immaginare è che senza tale requisito $C$ non sia uno spazio vettoriale o che $||f||$ non sia una norma (la seconda mi convince di meno).
Suggerimenti?
Probabilmente più avanti ha bisogno di approssimare funzioni analitiche, o cose del genere. Se il teorema che citi è vero (cosa di cui sono convinto, se non richiedi unicità del minimizzatore), allora puoi tranquillamente applicarlo nello spazio delle funzioni continue fin sul bordo di \(B\).
Penso di aver risolto (premetto che non ho ancora fatto pressoché nulla di analisi complessa):
quando si definisce una norma si richiede che $ ||x|| \geq 0 \forall x\in V $.
Con la norma del max che ho riportato sopra devo quindi essere sicuro che per ogni $f\inC$ la funzione $|f|$ ammetta massimo.
Leggendo qua e là mi sono imbattuto in un "teorema di massimo modulo" che presenta le ipotesi che ho menzionato sopra e risolverebbe il problema perché afferma l'esistenza del massimo nella chiusura di $B$.
Ben lungi dall'essere sicuro di quanto ho scritto, chiedo conferma a chi ne sa di più al riguardo.
quando si definisce una norma si richiede che $ ||x|| \geq 0 \forall x\in V $.
Con la norma del max che ho riportato sopra devo quindi essere sicuro che per ogni $f\inC$ la funzione $|f|$ ammetta massimo.
Leggendo qua e là mi sono imbattuto in un "teorema di massimo modulo" che presenta le ipotesi che ho menzionato sopra e risolverebbe il problema perché afferma l'esistenza del massimo nella chiusura di $B$.
Ben lungi dall'essere sicuro di quanto ho scritto, chiedo conferma a chi ne sa di più al riguardo.
Se una funzione a valori complessi è continua su \(\overline{B}\), allora il suo modulo ha massimo. Questo è il teorema di Weierstrass, che conosci benissimo. Da qui consegue che lo spazio delle funzioni continue su \(\overline{B}\), dotato della norma che dicevamo, è uno spazio di Banach, e la proposizione sull'esistenza della migliore approssimazione è vera anche in questo spazio più grande. Non occorre alcun teorema di massimo modulo.
Beh si questo in effetti è convincente!
A questo punto l'analiticità non mi pare necessaria.
grazie mille
A questo punto l'analiticità non mi pare necessaria.
grazie mille
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