Spazi vettoriali normati

[cippolippo1]

Siano (V1,║ .║1) e (V2 ,║ .║2) due spazi vettoriali normati. Si mostri che V1x V2 diventa anch’esso uno spazio vettoriale normato una volta dotato di una delle seguenti norme:
1. ║(v1,v2)║=║v1║1+║v2║2
2. ║(v1,v2)║= max {║v1║1,║v2║2}
3. ║(v1,v2)║= √(║v1║1)2+(║v2║2)2
Ed inoltre sia B: V1x V2-->R bilineare ossia
B(v1, αv2’+β v2’’) = αB(v1,v2’) + βB(v1,v2’’) per ogni α,β appartenenti R
B(αv1’+β v2’’,v2 ) = αB(v1’,v2) + βB(v1’’,v2) per ogni α,β appartenenti R
Si mostri che B è continua sse esiste c>0 tale che |B(v1,v2)|≤c║v1║1.║v2║2

Chi mi aiuta?

[Luca.Lussardi]

Prova a controllare una ad una le proprietà della norma. Poi vediamo dove ti fermi, che ti aiutiamo.

[cippolippo1]

ok verifico le proprietà della norme come verificherei quelle della distanza in uno spazio vettoriale.
per la seconda parte invece da dove parto?
prova a darmi uno spunto così lo seguo e vedo se riesco

[Luca.Lussardi]

Per la seconda parte ti conviene sapere già che un'applicazione lineare $L$ tra spazi normati è continua se e solo se esiste $c>0$ tale che $||Lx||\leq c||x||$ per ogni $x$. Usando questa è facile verificare quello che hai scritto sulle bilineari.