Spazi vettoriali euclidei

[skeggia18]

sia Y:R^3xR^3-->R Y(x,y)=2x1y1+ x2y2+ x2y1+x3y3 come faccio a dimostrare che è spazio vettoriale euclideo????

[Luca.Lussardi]

Forse la domanda è: come dimostrare che $Y$ è un prodotto scalare su $\RR^3$. Usa la definizione di prodotto scalare.

[amel3]

Occhio che, se devi provare quello, ti conviene vedere prima se l'asserto è plausibile...

Soluzione

Non mi risulta che la forma sia simmetrica...
Se prendo $vec bbv=(0,1,0)$ e $vec bbw=(1,1,0)$ ho:
$vec bbv * vec bbw=0+1+1+0=2$
$vec bbw * vec bbv=0+1+0+0=1$

[skeggia18]

la domanda è (R^3, Y) è spazio vettoriale euclideo

[Camillo]

Si dice che V è uno spazio euclideo se in esso è definito un prodotto scalare.
Un prodotto scalare per essere tale deve soddisfare alcune proprietà , tra cui la simmetria; deve cioè aversi $ bar u x bar v = bar v x bar u $.
Verifica se il prodotto scalare , così come definito nell'esercizio, gode di questa proprietà.
Se non fosse simmetrico allora non è un prodotto scalare.
Se invece è simmetrico allora devi verificare se gode delle altre proprietà di un prodotto scalare :
distributività $( bar u + bar v ) x bar w = bar u x bar w +bar v x bar w $
omogeneità $ h(bar u x bar w ) = (h bar u) x bar w = bar u x ( h bar v ) $
positività $ bar u x bar u > 0$ se $ bar u ne 0 $.
Se ha tutte queste proprietà allora è un prodotto scalare.

[skeggia18]

se io so che per stabilire se le forme bilineari simmetriche è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale euclideo devo verificare ceh tutti i minori principali della matrice associata alla forma abbiano segno positivo..posso usare qst metodo anche per le forme bilineari non simmetriche?

[Chevtchenko]

Purtroppo una forma bilineare non simmetrica non puo' essere un prodotto scalare su uno spazio vettoriale reale...