Spazi vettoriali e strutture di spazi vettoriali
Ho un dubbio.
Che differenza c'è, da un punto di vista puramente formale, tra uno spazio vettoriale su un campo $ \mathbb{K} $ ed una struttura di $ \mathbb{K} $-spazio vettoriale?
Mi sono fatto la seguente idea:
Dico che $ (V, \mathbb{K}, +, \cdot) $ è una struttura di $ \mathbb{K} $-spazio vettoriale, e che $ V $ è uno spazio vettoriale su $ \mathbb{K} $ se $ V \in (V, \mathbb{K}, +, \cdot) $.
Qualcuno esperto in materia mi può illuminare?[xdom="Martino"]Sposto in Algebra Lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/xdom]
Che differenza c'è, da un punto di vista puramente formale, tra uno spazio vettoriale su un campo $ \mathbb{K} $ ed una struttura di $ \mathbb{K} $-spazio vettoriale?
Mi sono fatto la seguente idea:
Dico che $ (V, \mathbb{K}, +, \cdot) $ è una struttura di $ \mathbb{K} $-spazio vettoriale, e che $ V $ è uno spazio vettoriale su $ \mathbb{K} $ se $ V \in (V, \mathbb{K}, +, \cdot) $.
Qualcuno esperto in materia mi può illuminare?[xdom="Martino"]Sposto in Algebra Lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/xdom]
Risposte
Salve Riccardo Desimini,
solamente una curiosità e per farti capire alcune osservazione concettuali, ma quando $ V \in (V, \mathbb{K}, +, \cdot) $? Cioè sotto quale condizione puoi dire che $ V \in (V, \mathbb{K}, +, \cdot) $? Per dirla ancora più terra terra, continua tu la frase: "$ V \in (V, \mathbb{K}, +, \cdot) $ se ......"?
Dopo che mi risponderai alla domanda, io risponderò alla tua!
Cordiali saluti
"Riccardo Desimini":
Ho un dubbio.
Che differenza c'è, da un punto di vista puramente formale, tra uno spazio vettoriale su un campo $ \mathbb{K} $ ed una struttura di $ \mathbb{K} $-spazio vettoriale?
Mi sono fatto la seguente idea:
Dico che $ (V, \mathbb{K}, +, \cdot) $ è una struttura di $ \mathbb{K} $-spazio vettoriale, e che $ V $ è uno spazio vettoriale su $ \mathbb{K} $ se $ V \in (V, \mathbb{K}, +, \cdot) $.
Qualcuno esperto in materia mi può illuminare?[xdom="Martino"]Sposto in Algebra Lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/xdom]
solamente una curiosità e per farti capire alcune osservazione concettuali, ma quando $ V \in (V, \mathbb{K}, +, \cdot) $? Cioè sotto quale condizione puoi dire che $ V \in (V, \mathbb{K}, +, \cdot) $? Per dirla ancora più terra terra, continua tu la frase: "$ V \in (V, \mathbb{K}, +, \cdot) $ se ......"?
Dopo che mi risponderai alla domanda, io risponderò alla tua!
Cordiali saluti
Ovviamente mi sono espresso male: $ V $ appartiene sempre a quella quadrupla, dato che è indicato esplicitamente tra i suoi elementi.
Quello che in realtà volevo sapere è, dato che nell'enunciare teoremi di algebra lineare si dice spesso "Sia $ V $ uno spazio vettoriale su $ \mathbb{K} $", volevo capire se quella $ V $ si riferisce alla quadrupla o all'insieme sostegno della struttura.
Il motivo del mio dubbio nasce dal fatto che, se io dico $ \mathbf{v} \in V $, non so se sto dicendo che esso appartiene al sostegno o che appartiene alla quadrupla (ma è impossibile che appartenga alla quadrupla, dato che essa ha elementi ben precisi); ma d'altronde se io definisco lo spazio vettoriale come la quadrupla mi sto comunque incastrando, perché quando dico che $ \mathbf{v} \in V $ sto imponendo che esso appartenga alla quadrupla.
Come risolvere questo problema?
Ma alla fine è davvero diverso parlare di "spazio vettoriale" o di "struttura di spazio vettoriale"?
Quello che in realtà volevo sapere è, dato che nell'enunciare teoremi di algebra lineare si dice spesso "Sia $ V $ uno spazio vettoriale su $ \mathbb{K} $", volevo capire se quella $ V $ si riferisce alla quadrupla o all'insieme sostegno della struttura.
Il motivo del mio dubbio nasce dal fatto che, se io dico $ \mathbf{v} \in V $, non so se sto dicendo che esso appartiene al sostegno o che appartiene alla quadrupla (ma è impossibile che appartenga alla quadrupla, dato che essa ha elementi ben precisi); ma d'altronde se io definisco lo spazio vettoriale come la quadrupla mi sto comunque incastrando, perché quando dico che $ \mathbf{v} \in V $ sto imponendo che esso appartenga alla quadrupla.
Come risolvere questo problema?
Ma alla fine è davvero diverso parlare di "spazio vettoriale" o di "struttura di spazio vettoriale"?
Leggila ironicamente: più leggo ciò che scrivi e più mi confondo 
Quando la prof di algebra lineare mi ha introdotto in questo mondo non mi ha mai posto tutti questi problemi, ci ha solo detto che per parlare di spazio vettoriale bisogna fissare un campo $K$ in cui poter prendere gli scalari così da poter definire il prodotto esterno, stop. Mai vista quella quadrupla che tu introduci...
Quando la prof di algebra lineare mi ha introdotto in questo mondo non mi ha mai posto tutti questi problemi, ci ha solo detto che per parlare di spazio vettoriale bisogna fissare un campo $K$ in cui poter prendere gli scalari così da poter definire il prodotto esterno, stop. Mai vista quella quadrupla che tu introduci...
"Riccardo Desimini":
Ma alla fine è davvero diverso parlare di "spazio vettoriale" o di "struttura di spazio vettoriale"?
In realtà io non vedo il problema.
E' come quando vai a definire una funzione $f : X -> Y$ come terna $(f, X , Y)$. Una funzione $f$ come "legge" non è slegata dal dominio $X$ e dal codominio $Y$, che vanno dichiarati quando la si introduce. Così, per analogia, $V$ è un insieme i cui elementi vengono detti vettori, ma per parlare di spazio vettoriale c'è bisogno di un campo $K$ di scalari e delle due operazioni che hai indicato, i quali danno la "struttura".
"Spazio vettoriale" e "struttura di spazio vettoriale" sono secondo me sinonimi.
Sono sinonimi.
Salve Riccardo Desimini,
Scrivendo come scrivi tu, ovvero "$(V, \mathbb{K} ,+,⋅)$ per intendere uno spazio vettoriale $V$ su un campo $ \mathbb{K} $, non so se in tale scrittura $V$ sarebbe il sostegno della struttura algebrica, se così quella scrittura possa dirsi (ti ricordo che la scrivi male, in simboli, la struttura algebrica).
Se tale scrittura l'hai presa da un testo, puoi dire quale testo oppure è un tuo pensiero personale in merito?
Cordiali saluti
"Riccardo Desimini":
Ovviamente mi sono espresso male: $ V $ appartiene sempre a quella quadrupla, dato che è indicato esplicitamente tra i suoi elementi.
Quello che in realtà volevo sapere è, dato che nell'enunciare teoremi di algebra lineare si dice spesso "Sia $ V $ uno spazio vettoriale su $ \mathbb{K} $", volevo capire se quella $ V $ si riferisce alla quadrupla o all'insieme sostegno della struttura.
Il motivo del mio dubbio nasce dal fatto che, se io dico $ \mathbf{v} \in V $, non so se sto dicendo che esso appartiene al sostegno o che appartiene alla quadrupla (ma è impossibile che appartenga alla quadrupla, dato che essa ha elementi ben precisi); ma d'altronde se io definisco lo spazio vettoriale come la quadrupla mi sto comunque incastrando, perché quando dico che $ \mathbf{v} \in V $ sto imponendo che esso appartenga alla quadrupla.
Come risolvere questo problema?
Ma alla fine è davvero diverso parlare di "spazio vettoriale" o di "struttura di spazio vettoriale"?
Scrivendo come scrivi tu, ovvero "$(V, \mathbb{K} ,+,⋅)$ per intendere uno spazio vettoriale $V$ su un campo $ \mathbb{K} $, non so se in tale scrittura $V$ sarebbe il sostegno della struttura algebrica, se così quella scrittura possa dirsi (ti ricordo che la scrivi male, in simboli, la struttura algebrica).
Se tale scrittura l'hai presa da un testo, puoi dire quale testo oppure è un tuo pensiero personale in merito?
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Scrivendo come scrivi tu, ovvero $ (V, \mathbb{K} ,+,\cdot) $ per intendere uno spazio vettoriale $ V $ su un campo $ \mathbb{K} $, non so se in tale scrittura $ V $ sarebbe il sostegno della struttura algebrica, se così quella scrittura possa dirsi (ti ricordo che la scrivi male, in simboli, la struttura algebrica).
Se tale scrittura l'hai presa da un testo, puoi dire quale testo oppure è un tuo pensiero personale in merito?
Sono solo mie idee: ciò che mi ha dato ispirazione è stata la definizione di campo, la quale fa utilizzo di una terna (appunto) e anche in quel caso si pone lo stesso problema (quando dico che un elemento $ a $ appartiene al campo sto dicendo che appartiene all'insieme sostegno della struttura oppure che appartiene alla terna?)
Potresti essere più preciso spiegandomi cosa c'è che non va nella scrittura in simboli della struttura algebrica?
Ringrazio tutti voi per il vostro contributo (quello di Seneca in particolare mi ha fatto riflettere).
Salve Riccardo,
nel tuo caso tu hai un insieme $V$ dotato di due operazioni binarie $+$ e $*$, ed un corpo commutativo, che tu indichi, $\mathbb{K}$, per dire che $V$ è uno spazio vettoriale su $ \mathbb{K} $, o $ \mathbb{K} $-spazio vettoriale si usa la scrittura "$(V;+,*)$ su $ \mathbb{K} $", poi se hai trovato docenti o altro che fanno diversamente allora tanto di cappello.
Cordiali saluti
nel tuo caso tu hai un insieme $V$ dotato di due operazioni binarie $+$ e $*$, ed un corpo commutativo, che tu indichi, $\mathbb{K}$, per dire che $V$ è uno spazio vettoriale su $ \mathbb{K} $, o $ \mathbb{K} $-spazio vettoriale si usa la scrittura "$(V;+,*)$ su $ \mathbb{K} $", poi se hai trovato docenti o altro che fanno diversamente allora tanto di cappello.
Cordiali saluti
Date un'occhiata qui (1.6 - Anelli e campi).
La definizione di anello che dà è:
[…] Una struttura algebrica con due operazioni interne $ A = (A,+,\cdot) $ si chiama anello se sono verificate le seguenti proprietà: [...]
Io non riesco a capire il senso di una definizione simile. Come fa ad essere $ A = (A, +, \cdot) $ se $ A $ è palesemente un elemento di $ (A, +, \cdot) $?
Sono a dir poco confuso.
La definizione di anello che dà è:
[…] Una struttura algebrica con due operazioni interne $ A = (A,+,\cdot) $ si chiama anello se sono verificate le seguenti proprietà: [...]
Io non riesco a capire il senso di una definizione simile. Come fa ad essere $ A = (A, +, \cdot) $ se $ A $ è palesemente un elemento di $ (A, +, \cdot) $?
Sono a dir poco confuso.
Salve Riccardo Desimini,
sicuramente è un errore di battitura, forse voleva che la prima $A$ fosse più corsiva della seconda... io avrei utilizzato il Fraktur.
Come vedi però l'autore non usa la scrittura $(A;+,*)$ ma un ulteriore uguaglianza, se uguaglianza possa dirsi (io direi associazione), e lo fa per abbreviare la scrittura.
Cordiali saluti
sicuramente è un errore di battitura, forse voleva che la prima $A$ fosse più corsiva della seconda... io avrei utilizzato il Fraktur.
Come vedi però l'autore non usa la scrittura $(A;+,*)$ ma un ulteriore uguaglianza, se uguaglianza possa dirsi (io direi associazione), e lo fa per abbreviare la scrittura.
Cordiali saluti
Ricapitoliamo.
Sia $ \mathbb{K} $ un campo. Una struttura di $ \mathbb{K} $-spazio vettoriale è una terna $ \mathbf{V} = (V, +, \cdot) $, dove $ V $ (detto sostegno della struttura) è un insieme non vuoto, mentre $ + $ e $ \cdot $ sono operazioni binarie su $ V $, tali da soddisfare certi assiomi (che qui non elenco).
Sulla base di quanto scritto sopra, nell'enunciare un teorema/proposizione/definizione, devo scrivere "Sia $ V $ un $ \mathbb{K} $-spazio vettoriale.", oppure "Sia $ \mathbf{V} $ un $ \mathbb{K} $-spazio vettoriale."?
P.S.: @garnak.olegovitc: ho notato che tu inserisci un punto e virgola per separare il sostegno dalle sue operazioni; immagino che utilizzare la virgola sia la stessa cosa, giusto?
Sia $ \mathbb{K} $ un campo. Una struttura di $ \mathbb{K} $-spazio vettoriale è una terna $ \mathbf{V} = (V, +, \cdot) $, dove $ V $ (detto sostegno della struttura) è un insieme non vuoto, mentre $ + $ e $ \cdot $ sono operazioni binarie su $ V $, tali da soddisfare certi assiomi (che qui non elenco).
Sulla base di quanto scritto sopra, nell'enunciare un teorema/proposizione/definizione, devo scrivere "Sia $ V $ un $ \mathbb{K} $-spazio vettoriale.", oppure "Sia $ \mathbf{V} $ un $ \mathbb{K} $-spazio vettoriale."?
P.S.: @garnak.olegovitc: ho notato che tu inserisci un punto e virgola per separare il sostegno dalle sue operazioni; immagino che utilizzare la virgola sia la stessa cosa, giusto?
Per definizioni di questo tipo direi che puoi by-passare tranquillamente il concetto di "terna,quadrupla, ..." dicendo che uno spazio vettoriale è dato da 4 oggetti: un insieme $V$, un campo $K$ di scalari, due operazioni con le proprietà etc...
Riccardo, non farti intrappolare dalle notazioni 
Un [tex]K[/tex]-spazio vettoriale è una terna [tex](V,+,\cdot)[/tex] tale che (bla, bla, bla).
Se [tex]V[/tex] è un insieme qualunque, una "struttura di [tex]K[/tex]-spazio vettoriale su [tex]V[/tex]" è un [tex]K[/tex]-spazio vettoriale [tex](W,+,\cdot)[/tex] tale che [tex]W=V[/tex]. In altre parole dare a un insieme una "struttura di spazio vettoriale" significa dargli una somma e una moltiplicazione per scalare che lo rendono effettivamente uno spazio vettoriale.
Un [tex]K[/tex]-spazio vettoriale è una terna [tex](V,+,\cdot)[/tex] tale che (bla, bla, bla).
Se [tex]V[/tex] è un insieme qualunque, una "struttura di [tex]K[/tex]-spazio vettoriale su [tex]V[/tex]" è un [tex]K[/tex]-spazio vettoriale [tex](W,+,\cdot)[/tex] tale che [tex]W=V[/tex]. In altre parole dare a un insieme una "struttura di spazio vettoriale" significa dargli una somma e una moltiplicazione per scalare che lo rendono effettivamente uno spazio vettoriale.
Ok Martino, vediamo se ho capito bene:
Quindi la risposta al mio precedente post sarebbe "Sia $ \mathbf{V} $ uno spazio vettoriale su $ \mathbb{K} $", vero?
Quindi dire "spazio vettoriale" o "struttura di spazio vettoriale" è la stessa identica cosa; in particolare, utilizzando la seconda espressione, stiamo specificando quale insieme utilizziamo per costruire la struttura, giusto?
Ma se io dico che $ \mathbf{v} \in \mathbf{V} $ sto dicendo una cosa falsa, dato che $ \mathbf{V} = (V, +, \cdot) $… solo quest'ultimo dubbio mi è rimasto.
"Martino":
Un [tex]K[/tex]-spazio vettoriale è una terna [tex](V,+,\cdot)[/tex] tale che (bla, bla, bla).
Quindi la risposta al mio precedente post sarebbe "Sia $ \mathbf{V} $ uno spazio vettoriale su $ \mathbb{K} $", vero?
"Martino":
Se [tex]V[/tex] è un insieme qualunque, una "struttura di [tex]K[/tex]-spazio vettoriale su [tex]V[/tex]" è un [tex]K[/tex]-spazio vettoriale [tex](W,+,\cdot)[/tex] tale che [tex]W=V[/tex]. In altre parole dare a un insieme una "struttura di spazio vettoriale" significa dargli una somma e una moltiplicazione per scalare che lo rendono effettivamente uno spazio vettoriale.
Quindi dire "spazio vettoriale" o "struttura di spazio vettoriale" è la stessa identica cosa; in particolare, utilizzando la seconda espressione, stiamo specificando quale insieme utilizziamo per costruire la struttura, giusto?
Ma se io dico che $ \mathbf{v} \in \mathbf{V} $ sto dicendo una cosa falsa, dato che $ \mathbf{V} = (V, +, \cdot) $… solo quest'ultimo dubbio mi è rimasto.
"Riccardo Desimini":Esatto, ma per abuso di notazione (vedi qui, e ti suggerisco di leggere anche questo) di solito (sempre) si scrive [tex]V[/tex].
Quindi la risposta al mio precedente post sarebbe "Sia $ \mathbf{V} $ uno spazio vettoriale su $ \mathbb{K} $", vero?
Quindi dire "spazio vettoriale" o "struttura di spazio vettoriale" è la stessa identica cosa; in particolare, utilizzando la seconda espressione, stiamo specificando quale insieme utilizziamo per costruire la struttura, giusto?No, io non la vedo così. Ti ho già risposto nell'intervento precedente, quindi mi limito a un esempio. L'insieme delle olive nere non ha nessuna struttura ovvia di spazio vettoriale, ma forse posso dargliene una io. Posso cioè inventarmi delle operazioni che lo rendono il sostegno di uno spazio vettoriale (il "sostegno" di [tex](V,+,\cdot)[/tex] è l'insieme [tex]V[/tex]).
Ma se io dico che $ \mathbf{v} \in \mathbf{V} $ sto dicendo una cosa falsa, dato che $ \mathbf{V} = (V, +, \cdot) $… solo quest'ultimo dubbio mi è rimasto.Esatto, dici una cosa falsa. Ma, come prima, uno lo dice lo stesso per abuso di notazione.
"Riccardo Desimini":Abuso di notazione.
Io non riesco a capire il senso di una definizione simile. Come fa ad essere $ A = (A, +, \cdot) $ se $ A $ è palesemente un elemento di $ (A, +, \cdot) $?
Osserva che anche dire che [tex]V[/tex] appartiene alla terna [tex](V,+,\cdot)[/tex] volendo è un abuso di notazione (cf. qui).
Gli abusi di notazione sono necessari, altrimenti il formalismo ci ucciderebbe.
Sei stato molto chiaro e preciso, ti ringrazio di cuore.
Salve Riccardo Desimini,
io uso il punto e virgola poichè ho seguito nel mio corso di studi gli appunti "Strutture Algebriche" di Arno Predonzan.... in questi non si fà riferimento al concetto di coppia, tripla, quadrupla,..(ordinata)....
Cordiali saluti
"Riccardo Desimini":
P.S.: @garnak.olegovitc: ho notato che tu inserisci un punto e virgola per separare il sostegno dalle sue operazioni; immagino che utilizzare la virgola sia la stessa cosa, giusto?
io uso il punto e virgola poichè ho seguito nel mio corso di studi gli appunti "Strutture Algebriche" di Arno Predonzan.... in questi non si fà riferimento al concetto di coppia, tripla, quadrupla,..(ordinata)....
Cordiali saluti
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