Spazi Vettoriali e somma diretta

[supermaschio]

Buona sera , sto ragionando su questo esercizio da varie ore e non riesco a trovare una soluzione , l'esercizio è il seguente :

Trovare un tre sottospazi U,W,Z di uno spazio vettoriale tali che U intersezione W=U intersezione Z= W intersezione Z=0v(vettore nullo), e la cui somma non sia diretta.


Io ho ragionato nel seguente modo , per essere valide la somma diretta di spazivettoriali la loro intersezione deve essere uguale al vettore nullo , in questo esercizio mi dice che i tre sottospazi non devono avere la somma diretta che quindi un vettore v=z+u+w non deve essere scritto in maniera unica , però io sono arrivato a dire che esso non è possibile se si vuole che l'intersezione tra questi sottospazi sia il vettore nullo e quindi la somma è diretta.

E' giusta come soluzione o sto sbagliando ? Grazie in anticipo.

[Pappappero1]

Il fatto e' che stai prendendo tre spazi e la condizione di avere intersezione nulla a due a due non e' sufficiente a garantire che siano in somma diretta (lo sono a due a due ma non tutti insieme).

Prova ad esempio a prendere $3$ rette nel piano. Le tre intersezioni tra le rette prese a due a due sono nulle, ma le $3$ rette non sono in somma diretta (ad esempio, visto che i tre generatori saranno linearmente dipendenti, puoi scrivere $0$ in modi diversi).

Quindi, se hai solo due sottospazi $U,W$, essere in somma diretta equivale ad avere intersezione nulla $U \cap W = 0$. Se pero' hai tanti sottospazi $U_1, ... , U_k$, allora la condizione corrispondente non e' piu' avere intersezione nulla a due a due, ma e' qualcosa del tipo $U_j \cap (U_1 + ... + U_{\hat{j}} + ... + U_k) = 0$ per ogni $j$, cioe' ogni spazio deve essere in somma diretta con lo spazio spannato da tutti gli altri.