Spazi vettoriali e isomorfismi

[marcy150]

Ciao ragazzi, posso chiedervi un aiuto?
Sto avendo dei dubbi su cose banali, ma preferirei chiedervi consigli:

\(\displaystyle \lbrace p \rbrace \times R^r \), dove p un punto fissato di un insieme X qualunque, è uno spazio vettoriale? Perché?

[anto_zoolander]

Prova a definire su ${p}timesRR^n$ l’operazione che associa

$(p,v)+(p,w):=(p,v+w)$
$lambda*(p,v)=(p,lambdav)$

Chiaramente $(p,0)$ sarebbe il vettore nullo e $(p,-v)$ l’opposto di $(p,v)$

[marcy150]

"anto_zoolander":Prova a definire su ${p}timesRR^n$ l’operazione che associa

$(p,v)+(p,w):=(p,v+w)$
$lambda*(p,v)=(p,lambdav)$

Chiaramente $(p,0)$ sarebbe il vettore nullo e $(p,-v)$ l’opposto di $(p,v)$

si avevo pensato anche io a questo, perché sfrutto le usuali operazioni su \(\displaystyle R^n \); quindi io direi che è uno spazio vettoriale. Ma qualcuno mi ha detto che ${p}timesRR^n$ non è uno spazio vettoriale perché non c'è l'origine E' sbagliato vero?

Inoltre posso parlare di identificazione tra ${p}timesRR^n$ e $R^n$? Se parlo di identificazione cosa sto dicendo? che esiste un isomorfismo? Nel caso, quale sarebbe?

[anto_zoolander]

Lasciali stare a questi credenti dell’origine...
Deve contenere il vettore nullo ovvero l’elemento neutro della somma e $(p,vec(0))$ rispetta tutto questo.

Un banale isomorfismo è $L(p,vec(v))=vec(v)$

[marcy150]

"anto_zoolander":Lasciali stare a questi credenti dell’origine...
Deve contenere il vettore nullo ovvero l’elemento neutro della somma e $(p,vec(0))$ rispetta tutto questo.

Un banale isomorfismo è $L(p,vec(v))=vec(v)$

GRAZIE MILLE!

[anto_zoolander]

Poi ti dico un mio pensiero: i vettori sin vettori e non ha senso parlare di origine a mio avviso, ma di vettore nullo o elemento neutro
Negli spazi affini, previo fissare un riferimento $R(O,e_1...e_n)$ ha senso dire che $O$ sia l’origine del sistema di riferimento.

Alcuni ti diranno che gli spazi vettoriali sono particolari spazi affini, ma non è vero.
Uno spazio affine contiene punti
Uno spazio vettoriale contiene vettori

Al più esiste un isomorfismo tra $W$ e $O+W$

Chiaramente poi ci sono varie correnti di pensiero

[marcy150]

Sì, sono d'accordo con te, per il fatto che non si debba chiamare origine ma vettore nullo, che dalla definizione ha la sola proprietà di essere "neutro", senza intendere alcun riferimento.
Per quanto riguarda il nome io utilizzo "punti" indifferentemente per indicare gli elementi di un qualsiasi insieme. Invece sì utilizzo vettori per indicare solo gli elementi di uno spazio vettoriale.

[killing_buddha]

"anto_zoolander":

Chiaramente poi ci sono varie correnti di pensiero

Non ci sono varie correnti di pensiero, solo definizioni giuste o sbagliate. Chi dice che gli spazi affini sono particolari spazi vettoriali sbaglia, ma formalmente uno spazio affine è un insieme A su cui uno spazio vettoriale V (il gruppo abeliano sottostante) agisce in maniera strettamente transitiva. Ciò assicura che dati due punti P, Q (due elementi di A) esiste uno e un solo v tale che P+v = Q. Questo porta alla scrittura v = Q-P e ad altri sincretismi notazionali tanto cari a fisici e ingegneri.

[anto_zoolander]

Oltre alla definizione di spazio affine con $a:AtimesV->A$ c’è anche quella $a:AtimesA->V$ che si riducono all’essere equivalenti. Io sinceramente preferisco la seconda però uso $vec(v)=a(P,Q)=vec(PQ)$ sinceramente $Q-P$ l’ho usato molto di rado.
Più che altro è la mancata giustificazione di molte cose che mi irrita, vedo veramente cose assurde anche da matematici stessi

[killing_buddha]

"anto_zoolander"::lol:

Oltre alla definizione di spazio affine con $a:AtimesV->A$ c’è anche quella $a:AtimesA->V$ che si riducono all’essere equivalenti.

Sono equivalenti proprio perché l'azione è strettamente transitiva.

Il punto è che poi si può ripensare uno spazio vettoriale come affine, prendendo $A=|V|$ (l'insieme sottostante a $V$) e facendoci agire $V$ per traslazione nel modo ovvio. Questo "stacca" l'origine dall'essere lo zero, perché ogni altro punto è collegato all'origine da uno e un solo vettore.

[dissonance]

"marcy150":
\(\displaystyle \lbrace p \rbrace \times R^r \), dove p un punto fissato di un insieme X qualunque, è uno spazio vettoriale? Perché?

Il problema è che la domanda è mal posta. Si può intendere in due modi:

1) Esistono delle operazioni su \(\{p\}\times \mathbb R^r\) che diano a questo insieme struttura di spazio vettoriale?

2) (Assumendo che \(p\in \mathbb R^n\).) L'insieme \(\{p\}\times \mathbb R^r\) è un sottospazio vettoriale di \(\mathbb R^n\times \mathbb R^r\)? (Qui naturalmente si sottointende che le operazioni su \(\mathbb R^n\times \mathbb R^r\) siano quelle usuali).

La 1) ha risposta affermativa e la 2) ha risposta negativa se \(p\ne \mathbf 0\).