Spazi vettoriali e basi
Ciao a tutti!
Avrei un piccolo problemino nel riuscire a trovare in generale la base di uno spazio vettoriale e la sua dimensione. Potreste darmi una regola pratica per farlo??
Grazie!!
Avrei un piccolo problemino nel riuscire a trovare in generale la base di uno spazio vettoriale e la sua dimensione. Potreste darmi una regola pratica per farlo??
Grazie!!
Risposte
se il tuo spazio vettoriale e' generato da n vettori:
V = span${ v1, v2, v3, ...vn}$
devi scegliere tra questi n il massimo numero di vettori linearmente indipendenti.
Esempio semplice:
V= span${{[[1],[2]]},{[[1],[0]]},{[[1],[1]]}}$
il terzo vettore puo' essere scritto come combinazione lineare dei primi due:
a$[[1],[2]]$ + b $[[1],[0]]$ = $[[1],[1]]$
a+b=1
2a=1
se a =1/2, e b=1/2
I primi due vettori sono linearmente indipendenti perche'
a$[[1],[2]]$ + b $[[1],[0]]$ = 0
solo se a=0, e b=0
quindi
$[[1],[2]]$ e $[[1],[0]]$ sono una base di V
d´altronde si puo' cercare una base ortonormale, come la base canonica:
$[[1],[0]]$ e $[[0],[1]]$
V= span${{[[1],[2]]},{[[1],[0]]},{[[1],[1]]}}$ = span ${{[[1],[2]]},{[[1],[0]]}}$ =span${{[[1],[0]]},{[[0],[1]]}}$
La dimensione e' il massimo numero di vettori linearmente indipendenti: in questo caso 2
V = span${ v1, v2, v3, ...vn}$
devi scegliere tra questi n il massimo numero di vettori linearmente indipendenti.
Esempio semplice:
V= span${{[[1],[2]]},{[[1],[0]]},{[[1],[1]]}}$
il terzo vettore puo' essere scritto come combinazione lineare dei primi due:
a$[[1],[2]]$ + b $[[1],[0]]$ = $[[1],[1]]$
a+b=1
2a=1
se a =1/2, e b=1/2
I primi due vettori sono linearmente indipendenti perche'
a$[[1],[2]]$ + b $[[1],[0]]$ = 0
solo se a=0, e b=0
quindi
$[[1],[2]]$ e $[[1],[0]]$ sono una base di V
d´altronde si puo' cercare una base ortonormale, come la base canonica:
$[[1],[0]]$ e $[[0],[1]]$
V= span${{[[1],[2]]},{[[1],[0]]},{[[1],[1]]}}$ = span ${{[[1],[2]]},{[[1],[0]]}}$ =span${{[[1],[0]]},{[[0],[1]]}}$
La dimensione e' il massimo numero di vettori linearmente indipendenti: in questo caso 2
Dipende dagli elementi che hai.
Se hai i vettori generatori, basta trovare quelli linearmente indipendenti; per farlo, imposta una matrice avente per colonne i vettori dati e riducila alla forma a gradini canonica con Gauss-Jordan:
i vettori di base (indipendenti) saranno quelli corrispondenti alle colonne canoniche della matrice finale (una colonna canonica ha tutti zero ed un solo uno).
Se hai lo spazio mediante un sistema di equazioni (sicuramente omogeneo), trova le soluzioni fondamentali: queste sono, infatti, proprio i vettori di base.
Se hai dei vettori da completare ad una base di un dato spazio (es. hai 3 vettori e devi trovare una base di R^5 non canonica), considera solo i vettori indipendenti e imposta una matrice con quei vettori e con i vettori della base canonica dello spazio (nell'esempio la matrice sarà 5*8 se i 3 vettori sono ind., in quanto i vettori della base di R^5 sono 5 e quindi 3 colonne+5 colonne= 8). Anche in questo caso, la base sarà data dalle colonne corrispondenti alle colonne canoniche.
Se devi aggiungere un solo vettore, nella matrice metti, oltre ai vettori da completare, un generico vettore x1 x2 x3 ecc... e trova le condizioni per cui il rango è massimo (di solito, una volta ridotta la matrice, l'entrata in basso a destra è funzione delle coordinate del vettore generico; imponendo quella entrata diversa da zero si ha la condizione di lineare indipendenza, e basta dare dei valori a piacere che la rispettino).
In ogni caso, conoscendo bene la teoria ognuno può trovare dei metodi propri a piacere.
Se hai i vettori generatori, basta trovare quelli linearmente indipendenti; per farlo, imposta una matrice avente per colonne i vettori dati e riducila alla forma a gradini canonica con Gauss-Jordan:
i vettori di base (indipendenti) saranno quelli corrispondenti alle colonne canoniche della matrice finale (una colonna canonica ha tutti zero ed un solo uno).
Se hai lo spazio mediante un sistema di equazioni (sicuramente omogeneo), trova le soluzioni fondamentali: queste sono, infatti, proprio i vettori di base.
Se hai dei vettori da completare ad una base di un dato spazio (es. hai 3 vettori e devi trovare una base di R^5 non canonica), considera solo i vettori indipendenti e imposta una matrice con quei vettori e con i vettori della base canonica dello spazio (nell'esempio la matrice sarà 5*8 se i 3 vettori sono ind., in quanto i vettori della base di R^5 sono 5 e quindi 3 colonne+5 colonne= 8). Anche in questo caso, la base sarà data dalle colonne corrispondenti alle colonne canoniche.
Se devi aggiungere un solo vettore, nella matrice metti, oltre ai vettori da completare, un generico vettore x1 x2 x3 ecc... e trova le condizioni per cui il rango è massimo (di solito, una volta ridotta la matrice, l'entrata in basso a destra è funzione delle coordinate del vettore generico; imponendo quella entrata diversa da zero si ha la condizione di lineare indipendenza, e basta dare dei valori a piacere che la rispettino).
In ogni caso, conoscendo bene la teoria ognuno può trovare dei metodi propri a piacere.
Scusa zio_paperone, mentre scrivevo non ho notato che avevi già risposto!
Ma la tua risposta e' migliore della mia, infatti se hai molte righe e molte colonne o fai la matrice o muori!
In ogni modo il ragionamento e' sempre quello..
In ogni modo il ragionamento e' sempre quello..
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