Spazi vettoriali, dimensione e basi

[ktmktm]

Salve!
Ecco l'esercizio che mi crea problemi:
"Riconoscere se i seguenti insiemi costituiscono uno spazio vettoriale. In caso affermativo trovarne la dimensione e una base."
1) {(x,y,z) ε R^3: x+ 2y+ z=0}
2) {(x,y,z) ε R^3: x+ y^2+ z=0}

Ecco il mio procedimento:

1) z=-x -2y
(z, y, -x-2y) è il vettore generico
(x1, y1, -x1-2y1)
(x2, y2, -x2-2y2)
Combino linearmente i due vettori:
x1+ 2y1- x1- 2y1=0
x2+ 2y2- x2- 2y2=0
(x1+ 2y1- x1- 2y1+ x2+ 2y2- x2- 2y2=0)
(x1+x2)+ 2(y1+y2)- (x1+x2)- 2(y1+y2)=0
Dato che mantiene la struttura del vettore generico e che contiene l'elemento neutro della somma (non abbiamo termini noti infatti), allora è uno spazio vettoriale.

2) (x, (-x-z)^(1/2), z) è il vettore generico.
Combiniamo linearmente i due vettori:
[x1+ x2, (-x1-z1)^(1/2) + (-x2-z2)^(1/2), z1+ z2)]
Non mantiene la struttura del vettore generico in quanto il secondo elemento dovrebbe essere:
(-(x1+ x2) - (z1+ z2))^(1/2)
Per questo quindi non abbiamo uno spazio vettoriale (anche se è verificata l'esistenza dell'elemento neutro).

Questa parte sono sicuro che è giusta perchè mi sembrano tutti simili gli esecizi sotto questo punto, tuttavia non so proprio come cavolo si trovano dimensione e base!!
So bene che se ho una matrice A allora il rango di A è anche la sua dimensione e so che se voglio trovare una base per il nucleo allora faccio Ax=0 e trovo il vettore associato ma qui NON ho una matrice!!!

Mi potete FORNIRE IL PROCEDIMENTO PASSO PASSO per favore??

GRAZIE INFINITE

P.s.: niente teoria per favore, mi serve il procedimento perchè è tutto il pomeriggio che ci sto diventano matto con questo esercizio

[Sk_Anonymous]

Non mi pare che il quesito verta sulle applicazioni lineari e quindi è eccessivo parlare di matrice associata, di nucleo o di quant'altro. Per il resto osserva che l'equazione $x+2y+z=0$ ha due variabili libere ed una legata e questo ci dice che la dimensione del sottospazio vettoriale relativo è 2. Per esempio puoi scrivere che $x=-2y-z$ .
Inoltre puoi partire proprio da questa equazione per trovare una base del sottospazio: poni dapprima $y=1,z=0$ ed hai il vettore $(-2,1,0)$. Poi poni $y=0,z=1$ ed ottieni il vettore (-1,0,1) e dunque la base richiesta è ${(-2,1,0),(-1,0,1)}$ .
Faccio anche notare che dal punto di vista puramente geometrico tutto quanto precede si poteva ricavare anche dal fatto che l'equazione $x+2y+z=0$ rappresenta un piano ( per l'origine). Ha quindi dimensione 2 e risulta determinato quando di esso sono noti due vettori ( uscenti dall'origine).

[ktmktm]

Grazie!!