Spazi vettoriali

[miuemia]

Sia $L:V->W$ un'applicazione lineare tra spazi vettoriali reali di dimensione finita e dotati di prodotto scalare $<,>_V$ e $<,>_W$
dimostrare l'equivalenza delle seguenti affermazioni:

1) esiste $a!=0$ tale che $_W=a^2 _V$ per ogni $v_1,v_2 \in V$

2) esiste $a!=0$ tale che $||L(v)||_W=a||v||_V$ per ogni $v\in V$

3) esiste una base ortonormale $v_1,...,v_n$ di $V$ tale che $L(v_1),...,L(v_n)$ sono ortogonali e della stessa lunghezza non nulla


1)->2) è semplice ma 2)->3) e 3)->1) non riesco a farli

[dissonance]

Ma se per esempio prendi $V=RR^2$, $W=RR$, come fai a trovare una applicazione che soddisfa la 3)? Una base ortonormale di $RR^2$ non la potrai mai mandare in un insieme di vettori ortogonali e di lunghezza non nulla di $RR$. Forse manca qualche ipotesi...

[Fioravante Patrone1]

No, è che se vale 1 vel 2 vel 3 allora V e W hanno la stessa dimensione (grazie alla ipotesi, g.c., che siano di dimensione finita). Lo vedi bene dalla 2, che ti dice che il Ker contiene solo lo 0.

[Thomas16]

Suggerimenti:

3=>1

che cosa dice la terza affermazione? Come escono fuori la matrici del prodotti scalari scritte con quelle basi? E' evidente che (1) vale per... ma allora anche per lo span di quei vettori (perchè?)...

2=>1 formula di polarizzazione

2=>3 prendi una base ortonormale a caso. La (2) ti dice che ... mentre la (1) che...