Spazi vettoriali
salve, non riesco a capire come dimostrare esattamente se un insieme è sottospazio vettoriale di un certo spazio vettoriale. Vi faccio alcuni esempi.
Dato $V={(x,y,z) : 2x+y-2=0}$ è sottospazio di $R^3$ ?
Comincio a dimostrare le due proprietà dei sottospazi, ovvero chiusura rispetto alla somma e rispetto al prodotto per scalare.
Somma: prendo due generici elementi di V. $v1=(a,b,c)$ e $v2=(d,e,f)$, li sommo e viene $v1+v2=(a+d, b+e, c+f)$, con
$2(a+b)+(b+e)-2=0$
Ecco, a questo punto cominciano a sorgermi i dubbi: non so mai se ho dimostrato che la somma è chiusa oppure no nel sottospazio. Comunque andiamo avanti.
Prodotto per scalare: prendo $v1=(a,b,c)$ e $w in R$ e faccio $w*v1=(wa, wb, wc)$ con
$2(wa)+(wb)-2=0$
Ecco, a questo punto ho dimostrato che è sottospazio di $R^3$ oppure no?
Faccio un altro esempio, riportando la soluzione dell'esercizio che ho:
$V={(x,y,z) in R^3 : x=4}$
La soluzione è semplicemente che visto che il vettore $(0,0,0)$ non appartiene a $V$, allora non è sottospazio. Viene precisato che basta portare un esempio che dimostri che non è un sottospazio per dimostrare effettivamente che non è sottospazio. Ma allora mi vengono dei dubbi: come faccio a farmi venire in mente un esempio che non verifica che è sottospazio? Cioè, con la dimostrazione come avrei fatto in questo caso a dimostrare che non è sottospazio? Cioè non riesco a capire come trovare degli esempi che dimostrino che non è sottospazio...
Altro esempio:
$S={v=(x,y,z) in R^3 : x+y+z=1}$
Io ho fatto le dimostrazioni e mi sembrava un sottospazio, ma la soluzione dice che nessuna delle proprietà è verificata, ad esempio porta un esempio che mostra la non chiusura rispetto alla somma:
$(1,0,0)$ e $(0,1,0)$ appartengono ad $S$, ma la loro somma $(1,1,0)$ no. A ben vedere è vero, ma a me non è venuto in mente questo controesempio e la dimostrazione mi sembrava giusta.
Avrei bisogno di capire meglio cosa mi sfugge, per favore chiedo il vostro aiuto.
Ah e un'ultima cosa: $U={(x,y,z):z=0}$. Mi si chiede un vettore di U. Io ho riposto che un vettore generico di $U$ può essere $(a,b,0)$ con $a,b in R$, ad esempio $(1,2,0)$. Basta che sia $z=0$, giusto?
Grazie mille
Dato $V={(x,y,z) : 2x+y-2=0}$ è sottospazio di $R^3$ ?
Comincio a dimostrare le due proprietà dei sottospazi, ovvero chiusura rispetto alla somma e rispetto al prodotto per scalare.
Somma: prendo due generici elementi di V. $v1=(a,b,c)$ e $v2=(d,e,f)$, li sommo e viene $v1+v2=(a+d, b+e, c+f)$, con
$2(a+b)+(b+e)-2=0$
Ecco, a questo punto cominciano a sorgermi i dubbi: non so mai se ho dimostrato che la somma è chiusa oppure no nel sottospazio. Comunque andiamo avanti.
Prodotto per scalare: prendo $v1=(a,b,c)$ e $w in R$ e faccio $w*v1=(wa, wb, wc)$ con
$2(wa)+(wb)-2=0$
Ecco, a questo punto ho dimostrato che è sottospazio di $R^3$ oppure no?
Faccio un altro esempio, riportando la soluzione dell'esercizio che ho:
$V={(x,y,z) in R^3 : x=4}$
La soluzione è semplicemente che visto che il vettore $(0,0,0)$ non appartiene a $V$, allora non è sottospazio. Viene precisato che basta portare un esempio che dimostri che non è un sottospazio per dimostrare effettivamente che non è sottospazio. Ma allora mi vengono dei dubbi: come faccio a farmi venire in mente un esempio che non verifica che è sottospazio? Cioè, con la dimostrazione come avrei fatto in questo caso a dimostrare che non è sottospazio? Cioè non riesco a capire come trovare degli esempi che dimostrino che non è sottospazio...
Altro esempio:
$S={v=(x,y,z) in R^3 : x+y+z=1}$
Io ho fatto le dimostrazioni e mi sembrava un sottospazio, ma la soluzione dice che nessuna delle proprietà è verificata, ad esempio porta un esempio che mostra la non chiusura rispetto alla somma:
$(1,0,0)$ e $(0,1,0)$ appartengono ad $S$, ma la loro somma $(1,1,0)$ no. A ben vedere è vero, ma a me non è venuto in mente questo controesempio e la dimostrazione mi sembrava giusta.
Avrei bisogno di capire meglio cosa mi sfugge, per favore chiedo il vostro aiuto.
Ah e un'ultima cosa: $U={(x,y,z):z=0}$. Mi si chiede un vettore di U. Io ho riposto che un vettore generico di $U$ può essere $(a,b,0)$ con $a,b in R$, ad esempio $(1,2,0)$. Basta che sia $z=0$, giusto?
Grazie mille
Risposte
Ma perché non usi i dollari? Basta mettere un dollaro all'inizio e uno alla fine:
le formule in questo modo sono leggibili..
le formule in questo modo sono leggibili..
$(1,0,0)\in V$ e $(0,2,0) \in V$ mentre $(1,0,0) + (0,2,0) = (1,2,0) \notin V$
guardi l'equazione e cerchi un controesempio facendo qualche calcoletto.
Ricorda che un sottospazio vettoriale contiene il vettore nullo, perciò per vedere se un sottoinsieme è un sottospazio oppure no tra le prime cose da fare è la verifica dell'appartenenza del vettore nullo.
La tua dimostrazione della chiusura rispetto all'addizione è sbagliata.
Se $(a,b,c)\in V$, allora $2a +b -2 =0$ e, analogamente, per $(d,e,f)$
La somma $(a+d,b+e, c+f)$ non sta in $V$ poiché
$2(a+d)+ (b+e)-2=0$
$2a+b - 2 + 2d+ e=0$
$0 + 2d+ e=0$
$2=0$
guardi l'equazione e cerchi un controesempio facendo qualche calcoletto.
Ricorda che un sottospazio vettoriale contiene il vettore nullo, perciò per vedere se un sottoinsieme è un sottospazio oppure no tra le prime cose da fare è la verifica dell'appartenenza del vettore nullo.
La tua dimostrazione della chiusura rispetto all'addizione è sbagliata.
Se $(a,b,c)\in V$, allora $2a +b -2 =0$ e, analogamente, per $(d,e,f)$
La somma $(a+d,b+e, c+f)$ non sta in $V$ poiché
$2(a+d)+ (b+e)-2=0$
$2a+b - 2 + 2d+ e=0$
$0 + 2d+ e=0$
$2=0$
"franced":
Ma perché non usi i dollari? Basta mettere un dollaro all'inizio e uno alla fine:
le formule in questo modo sono leggibili..
ciao ho messo a posto, spero sia più leggibile
"5InGold":
$(1,0,0)\in V$ e $(0,2,0) \in V$ mentre $(1,0,0) + (0,2,0) = (1,2,0) \notin V$
guardi l'equazione e cerchi un controesempio facendo qualche calcoletto.
Ricorda che un sottospazio vettoriale contiene il vettore nullo, perciò per vedere se un sottoinsieme è un sottospazio oppure no tra le prime cose da fare è la verifica dell'appartenenza del vettore nullo.
La tua dimostrazione della chiusura rispetto all'addizione è sbagliata.
Se $(a,b,c)\in V$, allora $2a +b -2 =0$ e, analogamente, per $(d,e,f)$
La somma $(a+d,b+e, c+f)$ non sta in $V$ poiché
$2(a+d)+ (b+e)-2=0$
$2a+b - 2 + 2d+ e=0$
$0 + 2d+ e=0$
$2=0$
ok, quindi se il vettore nullo non appartiene ad un sottospazio questo non è tale. Ottima dritta.
Non capisco la tua dimostrazione, in particolare come passi da $2a+b - 2 + 2d+ e=0$ a $0 + 2d+ e=0$. Perchè ci sono elementi che scompaiono?
E volevo chiedere: un generico elemento di $U={(a,b,c) in R^3 : z=0}$, quale può essere? Basta che ci sia $z=0$? Grazie
"Another Joe":
salve, non riesco a capire come dimostrare esattamente se un insieme è sottospazio vettoriale di un certo spazio vettoriale. Vi faccio alcuni esempi.
Dato $V={(x,y,z) : 2x+y-2=0}$ è sottospazio di $R^3$ ?
Non è un sottospazio vettoriale.
Per verificarlo basta prendere due vettori di $V$ e dimostrare che la loro somma non
sta in $V$.
Prendi i vettori
$a = (0;2;0)$ e $b = (1;0;0)$
e vedi che la somma $a+b$ non appartiene a $V$.
in ogni caso $V$ è un sottospazio affine di $RR^3$.
Non avevo visto gli interventi precedenti..
"franced":
[quote="Another Joe"]salve, non riesco a capire come dimostrare esattamente se un insieme è sottospazio vettoriale di un certo spazio vettoriale. Vi faccio alcuni esempi.
Dato $V={(x,y,z) : 2x+y-2=0}$ è sottospazio di $R^3$ ?
Non è un sottospazio vettoriale.
Per verificarlo basta prendere due vettori di $V$ e dimostrare che la loro somma non
sta in $V$.
Prendi i vettori
$a = (0;2;0)$ e $b = (1;0;0)$
e vedi che la somma $a+b$ non appartiene a $V$.
in ogni caso $V$ è un sottospazio affine di $RR^3$.[/quote]
perchè in pratica il vettore somma che sarebbe $(1,2,0)$ se sostituito nell'equazione
$ 2*1 + 2 -1 = 0 $
$3=0$
dà luogo ad un assurdo, giusto?
Ma metti caso che io prendo un esempio che la verifica e limitatamente a quell'esempio concludo che è un sottospazio. Ad esempio, prendo il vettore $(0,2,3)$ che mi verifica l'equazione. Come faccio ad essere sicuro di prendere proprio un esempio che non me la verifica? In questo caso l'equazione è semplice, ma metti che ci siano più equazioni e che non sia così semplice trovare anche un solo esempio che non mi verifica l'equazione o, magari, un sistema. Come faccio?
Un vettore $(a,b,c)$ appartiene a $V$ se le sue componenti sono soluzione dell'equazione:
$2x+y - 2=0$
cioè se sostituite alle incognite rendono vera l'uguaglianza.
Il vettore $(1,2,0)$ non appartiene a $V$ perché le sue componenti non sono soluzione dell'equazione, cioè l'uguaglianza
$2*1+2-2=0$
non è verificata.
Discrimina tra: l'uguaglianza è verificata oppure l'uguaglianza non è verificata. Non pensare ad un assurdo, è semplicemente una uguaglianza non verificata.
Se $(a,b,c) \in V$ allora $2a+b - 2=0$,
Se $(d,e,f) \in V$ allora $2d + e - 2=0$ ovvero $2d + e =2$.
Voglio verificare se $(a+d,b+e,c+f)\in V$. Sostituisco nell'equazione e in $2a + b -2 +2d +e =0$ faccio scomparire i primi tre addendi perché la loro domma è $0$
e concludo che l'uguaglianza non è verificata perché
$2d+e=0$
$2=0$.
Se vuoi negare una proposizione è sufficiente trovare un controesempio: due vettori di $V$ la cui somma non sta in $V$. Se trovi un esempio che verifica una proposizione questo non ti permette di concludere che la proposizione è vera: è necessaria una dimostrazione.
Un generico elemento di $U$ è proprio $(a,b,0)$. Terza componente nulla. $U$ è un sottospazione vettoriale. Prova a dimostrarlo.
$2x+y - 2=0$
cioè se sostituite alle incognite rendono vera l'uguaglianza.
Il vettore $(1,2,0)$ non appartiene a $V$ perché le sue componenti non sono soluzione dell'equazione, cioè l'uguaglianza
$2*1+2-2=0$
non è verificata.
Discrimina tra: l'uguaglianza è verificata oppure l'uguaglianza non è verificata. Non pensare ad un assurdo, è semplicemente una uguaglianza non verificata.
Se $(a,b,c) \in V$ allora $2a+b - 2=0$,
Se $(d,e,f) \in V$ allora $2d + e - 2=0$ ovvero $2d + e =2$.
Voglio verificare se $(a+d,b+e,c+f)\in V$. Sostituisco nell'equazione e in $2a + b -2 +2d +e =0$ faccio scomparire i primi tre addendi perché la loro domma è $0$
e concludo che l'uguaglianza non è verificata perché
$2d+e=0$
$2=0$.
Se vuoi negare una proposizione è sufficiente trovare un controesempio: due vettori di $V$ la cui somma non sta in $V$. Se trovi un esempio che verifica una proposizione questo non ti permette di concludere che la proposizione è vera: è necessaria una dimostrazione.
Un generico elemento di $U$ è proprio $(a,b,0)$. Terza componente nulla. $U$ è un sottospazione vettoriale. Prova a dimostrarlo.
"5InGold":
Un vettore $(a,b,c)$ appartiene a $V$ se le sue componenti sono soluzione dell'equazione:
$2x+y - 2=0$
cioè se sostituite alle incognite rendono vera l'uguaglianza.
Il vettore $(1,2,0)$ non appartiene a $V$ perché le sue componenti non sono soluzione dell'equazione, cioè l'uguaglianza
$2*1+2-2=0$
non è verificata.
Discrimina tra: l'uguaglianza è verificata oppure l'uguaglianza non è verificata. Non pensare ad un assurdo, è semplicemente una uguaglianza non verificata.
Se $(a,b,c) \in V$ allora $2a+b - 2=0$,
Se $(d,e,f) \in V$ allora $2d + e - 2=0$ ovvero $2d + e =2$.
Voglio verificare se $(a+d,b+e,c+f)\in V$. Sostituisco nell'equazione e in $2a + b -2 +2d +e =0$ faccio scomparire i primi tre addendi perché la loro domma è $0$
e concludo che l'uguaglianza non è verificata perché
$2d+e=0$
$2=0$.
Se vuoi negare una proposizione è sufficiente trovare un controesempio: due vettori di $V$ la cui somma non sta in $V$. Se trovi un esempio che verifica una proposizione questo non ti permette di concludere che la proposizione è vera: è necessaria una dimostrazione.
Un generico elemento di $U$ è proprio $(a,b,0)$. Terza componente nulla. $U$ è un sottospazione vettoriale. Prova a dimostrarlo.
Provo a dimostrare.
$ U={(x,y,z) : z=0 }$
prendo $v1=(a,b,0)$, $v2=(d,e,0) in U$, $w in R$;
Chiusura della somma:
$v1+v2=(a+d,b+e,0) in U $
Chiusura del prodotto per scalare:
$ w*v1=(wa,wb,0) in U$
Quindi l'ho dimostrato, è giusto?
Scusa, ma avrei ancora qualche domanda:
1. Hai detto: " $2a + b -2 +2d +e =0$ faccio scomparire i primi tre addendi perché la loro somma è $0$", non riesco davvero a capire perchè la somma è $=0$.
2. Ricercando informazioni sugli spazi vettoriali ho letto che le soluzioni di un sistema lineare omogeneo, cioè con termini noti tutti nulli, dà sempre luogo ad uno spazio/sottospazio vettoriale. Quindi mi chiedevo se guardando l'equazione che definisce un sottospazio, se essa è lineare e non ci sono termini noti, cioè numeri puri non coefficienti di nessuna variabile, posso subito dire che quello è uno spazio vettoriale?
Ad esempio: $V={(x,y,z):2x+y-2=0}$ non è sottospazio di $R^3$ in quanto è un sistema lineare non omogeneo costituito da una sola equazione perchè compare il termine noto $-2$, mentre, ad esempio
$V={(x,y,z) : x-y+2z=0}$
è un sottospazio di $R^3$ in quanto l'equazione che lo definisce è un sistema lineare omogeneo puro. Il tutto prestando attenzione ai casi come il seguente
$V={(x,y) : (x+y)^2 =0}$
dove tramite semplificazioni algebriche trovo che l'equazione la posso scrivere come $x+y=0$, cioè come un sistema lineare omogeneo e quindi è un sottospazio.
"Another Joe":
Provo a dimostrare.
$ U={(x,y,z) : z=0 }$
prendo $v1=(a,b,0)$, $v2=(d,e,0) in U$, $w in R$;
Chiusura della somma:
$v1+v2=(a+d,b+e,0) in U $
Chiusura del prodotto per scalare:
$ w*v1=(wa,wb,0) in U$
Quindi l'ho dimostrato, è giusto?
Sì, è giusto. La chiusura dell'addizione e della moltiplicazione per uno scalare sono sufficienti per dimostrare che un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un sottospazio vettoriale
"Another Joe":
Scusa, ma avrei ancora qualche domanda:
1. Hai detto: " $2a + b -2 +2d +e =0$ faccio scomparire i primi tre addendi perché la loro somma è $0$", non riesco davvero a capire perchè la somma è $=0$.
Il vettore $(a,b,c)$ è un generico elemento dell'insieme $V$ definito dall'equazione $2x+y-2=0$. La sua appartenenza a $V$ è equivalente alla condizione $2a+b-2=0$
"Another Joe":
2. Ricercando informazioni sugli spazi vettoriali ho letto che le soluzioni di un sistema lineare omogeneo, cioè con termini noti tutti nulli, dà sempre luogo ad uno spazio/sottospazio vettoriale. Quindi mi chiedevo se guardando l'equazione che definisce un sottospazio, se essa è lineare e non ci sono termini noti, cioè numeri puri non coefficienti di nessuna variabile, posso subito dire che quello è uno spazio vettoriale?
Ad esempio: $V={(x,y,z):2x+y-2=0}$ non è sottospazio di $R^3$ in quanto è un sistema lineare non omogeneo costituito da una sola equazione perchè compare il termine noto $-2$, mentre, ad esempio
$V={(x,y,z) : x-y+2z=0}$
è un sottospazio di $R^3$ in quanto l'equazione che lo definisce è un sistema lineare omogeneo puro. Il tutto prestando attenzione ai casi come il seguente
$V={(x,y) : (x+y)^2 =0}$
dove tramite semplificazioni algebriche trovo che l'equazione la posso scrivere come $x+y=0$, cioè come un sistema lineare omogeneo e quindi è un sottospazio.
Esatto. Una equazione lineare omogenea
$ax+by+cz=0$
definisce un sottospazio vettoriale di dimensione 2 di $\mathbb R^3$. Geometricamente è un piano passante per l'origine.
Una equazione lineare non omogenea
$ax+by+cz + d=0$ con $d \ne 0$
definisce, come già indicato da franced, un sottospazio affine. Geometricamente è un piano traslato, non pasante per l'origine (la non appartenenza del vettore nullo...)
Ad esempio $V$ definito dall'equazione $2x+y-2=0$ è un piano parallelo a $2x+y=0$ ottenuto traslando i punti di quest'ultimo del vettore $(0,2,0)$
L'equazione $(x+y)^2=0$ è equivalente a $x+y=0$, ma la prima non è lineare perché di grado 2.
L'insieme definito da
$\{(x-y+2z=0),(x+y+z=0):}
è un sottospazio vettoriale?
L'insieme definito da
$\{(x-y+2z=0),(x+y+z=0):}
è un sottospazio vettoriale?
Dunque è in pratica l'intersezione di 2 piani passanti per l'origine in $R^3$ , quindi di due sottospazi vettoriali, cioè una retta. La mia risposta è sì. Spero di aver ragionato correttamente
esatto. L'intersezione di due equazioni omogenee lineari, se non rappresentano lo stesso piano, è un sottospazio vettoriale in $\mathbb R^3$ di dim 1, cioè una retta per l'origine.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo