Spazi vettoriali

[kind85]

Ciao a tutti. Ho il seguente esercizio che non riesco a risolvere:
Dire se i seguenti insiemi sono R-spazi vettoriali (se si’ verificare gli assiomi,
se no dire quali assiomi non sono soddisfatti):
a) {f : R -> R : f(0) = f(1)};
b) {f : R -> R : f(0) = f(1) + 1};
c) {f : R -> R : f0(0) = 2f(0)};
d) {f : R -> R : fdispari};
e) {f : R -> R : fpari}.
Mi potreste dare una mano?

[_prime_number]

Prova a iniziare un po' il procedimento.. prendi sotto la definizione di spazio vettoriale e prova a verificare tutte le proprietà...
Ci aiuti a capire dov'è il problema..

Paola

[kind85]

ma io non riesco a capire già che insieme è questo:{f : R -> R : f(0) = f(1)}. che significa f(0)=f(1). questo insieme da cosa è composto? dai numeri 0 e 1 e basta?

[_prime_number]

dalle funzioni che in 0 ed 1 assumono lo stesso valore... Esempio banale: $f:RR \to RR , f(x) = c$ con $c$ costante. Guarda: $f(0)=c=f(1)$.

Paola

[kind85]

Quindi devo dire che quell'insieme {f : R -> R : f(0) = f(1)} è un gruppo abeliano.
questo significa che deve essere dotato di un operazione (+) che gode della proprietà associativa, deve avere un elemento neutro, che ogni elemento è invertibile e che ha rispetto alla moltiplicazione gode della proprietà commutativa.
ok ma non so come iniziare

[_prime_number]

esatto, gruppo abeliano rispetto ad un'operazione di somma e poi dotato di prodotto per scalare con le relative proprietà.

Per cominciare prendi due elementi generici dell'insieme $f,g$ e chiediti: $f+g$ appartiene ancora al tuo insieme? Guarda che gli succede in 0 ed 1...
E poi controlla così tutte le proprietà.

Paola

[kind85]

allora, f(0)+f(1) appartiene ancora all'inseme perchè se, per esempio f(0=f(1)=5, allora avrò anche una funzione g che appartiene allo stesso insieme per cui avrò g(0)=g(1)=10. Giusto?
Grazie Paola, sei molto gentile

[_prime_number]

Formalizziamo meglio: $(f+g)(0) = $(per la definizione di $f+g$) $=f(0) + g(0)=$ (dato che $f,g$ appartengono all'insieme) $=f(1)+g(1)=(f+g)(1)$.
Vai avanti con le altre cerca di esser preciso!

Paola

[kind85]

ok.
l'insieme deve avere l'elemento neutro rispetto alla somma. l'elemento neutro della somma è 0. quindi f(0)=f(0)+0=f(1)+0=f(1).
ogni elemento deve essere invertibile: f(0)+f^-1(0)=0 e la stessa cosa per f(1)
infine f(0)+f(1)=f(1)+f(0).
ora prendendo un numero qualsiasi x:
f(x0) non è uguale a xf(0) giusto? ma quali sono esattamente le proprietà che devo soddisfare con la moltiplicazione per uno scalare?

[_prime_number]

no attenzione... fai confusione... gli elementi dell'insieme sono FUNZIONI, dunque anche l'elemento neutro deve esserlo. Sarà la funzione nulla.
Poi... da quando la funzione inversa sommata alla funzione di partenza dà 0?? Arghh.. ragiona con più calma!

Per le proprietà del prodotto per scalare basta aprire un libro o wikipedia alla voce "spazio vettoriale"!!

Paola