Spazi vettoriali
Ciao,
Nel mio libro c'è scritto brevemente che l'equazione x + 2y + z = 0 si è ottenuta
scrivendo i vettori di V={(0,3,-1), (1,2,0)} come soluzioni di un sistema lineare omogeneo, ma come???
Potete spiegarmi questo procedimento???
GRAZIE....
Nel mio libro c'è scritto brevemente che l'equazione x + 2y + z = 0 si è ottenuta
scrivendo i vettori di V={(0,3,-1), (1,2,0)} come soluzioni di un sistema lineare omogeneo, ma come???
Potete spiegarmi questo procedimento???
GRAZIE....
Risposte
Ma quell'equazione cosa dovrebbe rappresentare?
un sottospazio....
Ho capito, ma quale sottospazio? Di certo non quello generato da quei due vettori.
hai ragione l'equazione che rappresenta quel sottospazio è −2x + y + 3z = 0.Come si ricava −2x + y + 3z = 0 da V={(0,3,-1), (1,2,0)}?
Il generico vettore dello spazio generato dagli elementi di $V$ è una combinazione lineare di quei vettori, cioè
$\alpha ((0),(3),(-1)) + \beta ((1),(2),(0)) = ((\beta),(3 \alpha + 2 \beta),(-\alpha))$, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$
Per passare all'equazione cartesiana basta porre la prima componente uguale a $x$, la seconda uguale a $y$, la terza uguale a $z$, quindi si ottiene
$\{(x=\beta),(y=3\alpha+2\beta),(z=-\alpha):} = \{(x=\beta),(y=-3z+2x),(z=-\alpha):}$
La prima e l'ultima dipendo da un parametro, e si buttano via, quindi l'equazione del sottospazio è $y=-3z+2x$
$\alpha ((0),(3),(-1)) + \beta ((1),(2),(0)) = ((\beta),(3 \alpha + 2 \beta),(-\alpha))$, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$
Per passare all'equazione cartesiana basta porre la prima componente uguale a $x$, la seconda uguale a $y$, la terza uguale a $z$, quindi si ottiene
$\{(x=\beta),(y=3\alpha+2\beta),(z=-\alpha):} = \{(x=\beta),(y=-3z+2x),(z=-\alpha):}$
La prima e l'ultima dipendo da un parametro, e si buttano via, quindi l'equazione del sottospazio è $y=-3z+2x$
Ciao
La prima e l'ultima dipendono da un parametro, e si buttano via...
Perchè quelle che dipendono da un parametro si buttano via???
GRAZIE.............
La prima e l'ultima dipendono da un parametro, e si buttano via...
Perchè quelle che dipendono da un parametro si buttano via???
GRAZIE.............
Dato che $x$ e $z$ dipendono da un parametro possono variare come gli pare, e non ti danno nessun vincolo.
Supponiamo di avere V=<(1,0,1),(2,1,3)>, W=<(2,0,1),(0,1,3)> e vogliamo calcolare il sottospazio intersezione. In quanti modi è possibile operare?
GRAZIE.......
GRAZIE.......
Io scriverei le equazioni cartesiane dei due sottospazi, per scrivere l'equazione dell'intersezione basta metterle a sistema.
è possibile fare così:
v=(a+2b, b, a+3b)
w=(2a, b, a+3b)
sistema:
a+2b = 2a
b = b
a+3b = a+3b
quindi un vettore che appartiene all'intersezione avrà questa forma
(2b, b, a+3b).
v=(a+2b, b, a+3b)
w=(2a, b, a+3b)
sistema:
a+2b = 2a
b = b
a+3b = a+3b
quindi un vettore che appartiene all'intersezione avrà questa forma
(2b, b, a+3b).
Mi pare proprio che così non vada bene.
Ciao,
La domanda risulterà probabilmente banale, ma ho delle incertezze. Supponiamo di avere questa base
$B={(1,0), (0,1)}$ di $V=RR^2$
e questo vettore $v=(1,2) in RR^2$
e di volerlo rappresentare graficamente. Come si fà?
La domanda risulterà probabilmente banale, ma ho delle incertezze. Supponiamo di avere questa base
$B={(1,0), (0,1)}$ di $V=RR^2$
e questo vettore $v=(1,2) in RR^2$
e di volerlo rappresentare graficamente. Come si fà?
quindi basta prendere un sistema di riferimento cartesiano in cui la linea delle ascisse forma un angolo di 90° con quella delle ordinate. Supponiamo ora di voler rappresentare lo stesso vettore (con la stessa base) dove però l'angolo formato dalle ascisse e dalle ordinate è diverso da 90°, ottengo sempre gli stessi risultati??
Gli assi cartesiani, nel caso precedente, hanno la stessa direzione dei vettori della base, quindi che senso ha mantenere la stessa base e considerare assi non ortogonali?
Mi sembra di aver capito che uno spazio vettoriale ha diverse basi, quindi un vettore può essere rappresentato in diversi modi in corrispondenza alle basi. Per esempio sia $V=RR^2$
$B_1 = {(1,0), (0,1)}$
$B_2 = {(3,1), (2,3)}$
supponiamo di voler rappresentare il vettore $v=(2,4)$ con le due basi
1) $(2,4)_(B1)$
2) $(-2/7 , 10/7)_(B2)$
Quindi ottengo due vettori, apparentemente diversi (a causa delle due basi diverse) ma che dovrebbero rappresentare lo stesso vettore, giusto? ma se provo a fare il disegno ottengo due vettori diversi, dove sbaglio?
$B_1 = {(1,0), (0,1)}$
$B_2 = {(3,1), (2,3)}$
supponiamo di voler rappresentare il vettore $v=(2,4)$ con le due basi
1) $(2,4)_(B1)$
2) $(-2/7 , 10/7)_(B2)$
Quindi ottengo due vettori, apparentemente diversi (a causa delle due basi diverse) ma che dovrebbero rappresentare lo stesso vettore, giusto? ma se provo a fare il disegno ottengo due vettori diversi, dove sbaglio?
Probabilmente sbagli nel fatto che un sistema di assi cartesiani è riferito ad una base, un altro sistema è riferito ad un'altra base, se ho capito bene...
ma
1) $(2,4)_(B1)$
2) $(-2/7 , 10/7)_(B2)$
sono in realtà lo stesso vettore?
1) $(2,4)_(B1)$
2) $(-2/7 , 10/7)_(B2)$
sono in realtà lo stesso vettore?
Sì, infatti
$-\frac{2}{7} ((3),(1)) + \frac{10}{7} ((2),(3)) = 2 ((1),(0)) + 4 ((0),(1))$
$-\frac{2}{7} ((3),(1)) + \frac{10}{7} ((2),(3)) = 2 ((1),(0)) + 4 ((0),(1))$
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