Spazi vettoriali
Ciao a tutti...
Potete spiegarmi per favore e in modo semplice cosa si intende per $RR^2$,
dovrei dimostrare che lo spazio $U=[x,x^2 | x app RR]$ è sottospazio di $RR^2$
Per favore aiutatemi.. non so dove mettere le mani!
Potete spiegarmi per favore e in modo semplice cosa si intende per $RR^2$,
dovrei dimostrare che lo spazio $U=[x,x^2 | x app RR]$ è sottospazio di $RR^2$
Per favore aiutatemi.. non so dove mettere le mani!
Risposte
$RR^2={(x,y),x,y\in RR}$
dotato della somma $(x,y)+(w,z)=(x+w,y+z)$ e prodotto esterno $a(x,y)=(ax,by)$
p.s.
ma chi te l'ha detto che quello è un sottospazio?
dotato della somma $(x,y)+(w,z)=(x+w,y+z)$ e prodotto esterno $a(x,y)=(ax,by)$
p.s.
ma chi te l'ha detto che quello è un sottospazio?
E' un esercizio che mi ha lasciato il prof di geometria analitica e algebra lineare, Ingegneria chimica. Potresti per favore spiegarmelo in un modo più discorsivo e facendo tutti i passaggi? Ho serie difficoltà con questa materia....
Perchè non è vero che è sottospazio di $RR$?
Immagino che tu con $U$ intendi la parabola ${(x,x^2),x\in RR}$...
Se è così, $U$ non può essere un sottospazio, in quanto i sottospazi di $RR^2$ sono TUTTE E SOLE
le rette passanti per l'origine. (verifica per esercizio!)
Se è così, $U$ non può essere un sottospazio, in quanto i sottospazi di $RR^2$ sono TUTTE E SOLE
le rette passanti per l'origine. (verifica per esercizio!)
Non ci capisco nietne.... non ho idea di che esercizio dovrei provare a fare e di come farlo....
Non credo che intendesse la parabola... Per errore ho omesso che si tratta di spazi e sottospazi vettoriali...
Non credo che intendesse la parabola... Per errore ho omesso che si tratta di spazi e sottospazi vettoriali...
l'unico modo di interpretare la tua definizione di $U$ è che sia la parabola e quella, ripeto,
non è un sottospazio. Forse l'esercizio era "Verificare SE $U$ è un sottospazio" e non
"verificare CHE $U$ è un sottospazio".
non è un sottospazio. Forse l'esercizio era "Verificare SE $U$ è un sottospazio" e non
"verificare CHE $U$ è un sottospazio".
Puoi visualizzare lo spazio $RR^2 $ come il piano in cui hai fissato, per semplicità, un sistema di assi cartesiani ortogonali ; ogni coppia $ ( x,y) $ con $ x,y in RR $ rappresenta più esattamente un vettore con origine in (0,0) e punta della freccia in$(x,y)$ (e viceversa ogni vettore del piano è rappresentabile con una coppia di numeri reali, le coordinate appunto della punta della freccia.
Definizione più rigorosa e più generale è :
Lo spazio vettoriale $RR^n $ è l'insieme delle n-ple ordinate di numeri reali $(x_1.x_2,...,x_n) detti vettori, considerate rispetto alla :
* SOMMA : $(x_1,x_2,....x_n)$ +$(y_1,y_2,...y_n) $ =$ (x_1+y_1,x_2+y_2,....x_n+y_n ) $
e al
* PRODOTTO ESTERNO :k$(x_1,x_2,...x_n)$ =$ (kx_1,kx_2,...kx_n)$.
Definizione più rigorosa e più generale è :
Lo spazio vettoriale $RR^n $ è l'insieme delle n-ple ordinate di numeri reali $(x_1.x_2,...,x_n) detti vettori, considerate rispetto alla :
* SOMMA : $(x_1,x_2,....x_n)$ +$(y_1,y_2,...y_n) $ =$ (x_1+y_1,x_2+y_2,....x_n+y_n ) $
e al
* PRODOTTO ESTERNO :k$(x_1,x_2,...x_n)$ =$ (kx_1,kx_2,...kx_n)$.
Sottospazio vettoriale
Si dice sottospazio vettoriale di $RR^n $ ogni sottoinsieme di vettori appartenenti a $ RR^n $ che sia chiuso rispetto alle operazioni di somma e di prodotto esterno.
Questo vuol dire che la somma di due vettori qualunque del sottospazio deve ancora dare un vettore del sottospazio e che il prodotto di uno scalare per un vettore del sottospazio deve ancora dare un vettore del sottospazio.
Uber dice che gli unici sottospazi di $R^2$ sono le rette uscenti dall'origine .
Considera infatti la retta $ y = 3x $ e due vettori ad essa apparteneti ad es . $(1,3);(2,6)$ ; bene il vettore somma : $(1,3)+(2,6)=(3,9)$ appartiene ancora al sottospazio , cioè alla retta $ y = 3x $.
Si verifica facilmente che anche l'altra condizione relativa al prodotto è soddisfatta : $ 5*(1,3) =(5,15)$ che pure appartiene alla retta.
Se considero invece una retta non passante per l'origine, ad es. $ y = 3x+1$ questa non dovrebbe più rappresentare un sottospazio.
Somma : $(1,4) +(2,7) = ( 3,11) $ che NON appartiene al sottospazio cioè alla retta $ y = 3x+1$.
Si dice sottospazio vettoriale di $RR^n $ ogni sottoinsieme di vettori appartenenti a $ RR^n $ che sia chiuso rispetto alle operazioni di somma e di prodotto esterno.
Questo vuol dire che la somma di due vettori qualunque del sottospazio deve ancora dare un vettore del sottospazio e che il prodotto di uno scalare per un vettore del sottospazio deve ancora dare un vettore del sottospazio.
Uber dice che gli unici sottospazi di $R^2$ sono le rette uscenti dall'origine .
Considera infatti la retta $ y = 3x $ e due vettori ad essa apparteneti ad es . $(1,3);(2,6)$ ; bene il vettore somma : $(1,3)+(2,6)=(3,9)$ appartiene ancora al sottospazio , cioè alla retta $ y = 3x $.
Si verifica facilmente che anche l'altra condizione relativa al prodotto è soddisfatta : $ 5*(1,3) =(5,15)$ che pure appartiene alla retta.
Se considero invece una retta non passante per l'origine, ad es. $ y = 3x+1$ questa non dovrebbe più rappresentare un sottospazio.
Somma : $(1,4) +(2,7) = ( 3,11) $ che NON appartiene al sottospazio cioè alla retta $ y = 3x+1$.
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