Spazi vettoriali
Una delle principali proprietà degli spazi vettoriali è di possedere il vettore nullo. Questa proprietà esce fuori dalle condizioni di somma e prodotto che definiscono uno spazio vettoriale, in particolare dalla S3 se non sbaglio. Ma quali proprietá in meno o in più avrebbe uno spazio vettoriale se non fossero poste le condizione per cui deve godere della proprietá associativa e commutativa per esempio?
Non esisterebbe lo il vettore nullo in ogni caso?
Grazie per la risposta.
EDIT:
Mi sono accorto che la mia vera domanda è un'altra, e quella precedente è un "sintomo" del dubbio che ho.
Io so che un insieme per essere spazio vettoriale deve avere soddisfare delle condizioni: essere chiuso alla somma e al prodotto, godere della proprietà associativa e commutativa per la somma, godere di quella distributiva (sia per vettori che per costanti) per il prodotto, avere un vettore neutro per la somma (quindi vettore nullo) tale che per ogni vettore dell'insieme X, ā+ō=ā, avere un vettore opposto per ogni vettore dell'insieme X tale che ā+(-ā)=ō, avere un vettore neutro ecc...
A questo punto io mi chiedo: perché tutte queste condizioni? Dove vogliamo arrivare? Io mi sarei fermato al fatto di essere chiusi per la somma e per il prodotto, che mi pare abbastanza caratterizzante, magari con l'aggiunta di un vettore neutro per la somma e per il prodotto, dell'opposto e del reciproco...ma perché arrivare a soddisfare proprietá come quella associativa e commutativa?
In poche parole, perché abbiamo imposto tali condizioni? Cosa ci giova? Non credo proprio che abbiamo messo un mucchio di condizioni giusto per distinguere i vari insiemi.
Non esisterebbe lo il vettore nullo in ogni caso?
Grazie per la risposta.
EDIT:
Mi sono accorto che la mia vera domanda è un'altra, e quella precedente è un "sintomo" del dubbio che ho.
Io so che un insieme per essere spazio vettoriale deve avere soddisfare delle condizioni: essere chiuso alla somma e al prodotto, godere della proprietà associativa e commutativa per la somma, godere di quella distributiva (sia per vettori che per costanti) per il prodotto, avere un vettore neutro per la somma (quindi vettore nullo) tale che per ogni vettore dell'insieme X, ā+ō=ā, avere un vettore opposto per ogni vettore dell'insieme X tale che ā+(-ā)=ō, avere un vettore neutro ecc...
A questo punto io mi chiedo: perché tutte queste condizioni? Dove vogliamo arrivare? Io mi sarei fermato al fatto di essere chiusi per la somma e per il prodotto, che mi pare abbastanza caratterizzante, magari con l'aggiunta di un vettore neutro per la somma e per il prodotto, dell'opposto e del reciproco...ma perché arrivare a soddisfare proprietá come quella associativa e commutativa?
In poche parole, perché abbiamo imposto tali condizioni? Cosa ci giova? Non credo proprio che abbiamo messo un mucchio di condizioni giusto per distinguere i vari insiemi.
Risposte
Secondo me perché ci sono degli spazi troppo complessi da studiare, quindi se soddisfano determinate condizioni, puoi studiarli indirettamente per grazie a uno studio di spazi più semplici.
Comunque fai attenzione che una proprietà, che possa sembrare banale come quella commutativa, non sempre è valida; prendi il caso delle Matrici nxn: non è sempre vero che esse commutino,
Comunque fai attenzione che una proprietà, che possa sembrare banale come quella commutativa, non sempre è valida; prendi il caso delle Matrici nxn: non è sempre vero che esse commutino,
Credo che in generale ogni struttura algebrica nasca per "generalizzare" un qualche modello stardard che si ha in mente. Nel caso degli spazi vettoriali, il modello, almeno nella mia testa, e' sempre quello dei vettori di un piano. Si mimano quindi le proprieta' che hanno i modelli standard a cui ci si ispira.
Facendo un po' di esempi, (personalissimi...) uno spazio vettoriale mima le proprieta' dei vettori del piano cartesiano; un gruppo mima le proprieta' dell'insieme delle funzioni invertibili su un certo insieme, con certe proprieta' fissate; un'anello mima le proprieta' dell'insieme dei numeri interi etc.
L'idea, credo, sia quella di generalizzare rendendo le cose piu' generali, ma non troppo difficili. Poi si puo' sempre generlizzare ancora. Ad esempio ci sono spazi vettoriali con operazione di prodotto (le cosiddette algebre) che spesso non e' commutativo (vedi ad esempio l'anello delle matrici, l'anello dei quaternioni e molte altre); il prodotto negli ottonioni non e' neanche associativo. Se uno volesse, potrebbe costruire una teoria di "spazi vettoriali non commutativi" e vedere cosa viene fuori.
Facendo un po' di esempi, (personalissimi...) uno spazio vettoriale mima le proprieta' dei vettori del piano cartesiano; un gruppo mima le proprieta' dell'insieme delle funzioni invertibili su un certo insieme, con certe proprieta' fissate; un'anello mima le proprieta' dell'insieme dei numeri interi etc.
L'idea, credo, sia quella di generalizzare rendendo le cose piu' generali, ma non troppo difficili. Poi si puo' sempre generlizzare ancora. Ad esempio ci sono spazi vettoriali con operazione di prodotto (le cosiddette algebre) che spesso non e' commutativo (vedi ad esempio l'anello delle matrici, l'anello dei quaternioni e molte altre); il prodotto negli ottonioni non e' neanche associativo. Se uno volesse, potrebbe costruire una teoria di "spazi vettoriali non commutativi" e vedere cosa viene fuori.
"Pappappero":Sono d'accordo.
Credo che in generale ogni struttura algebrica nasca per "generalizzare" un qualche modello stardard che si ha in mente. Nel caso degli spazi vettoriali, il modello, almeno nella mia testa, e' sempre quello dei vettori di un piano. Si mimano quindi le proprieta' che hanno i modelli standard a cui ci si ispira.
Facendo un po' di esempi, (personalissimi...) uno spazio vettoriale mima le proprieta' dei vettori del piano cartesiano; un gruppo mima le proprieta' dell'insieme delle funzioni invertibili su un certo insieme, con certe proprieta' fissate; un'anello mima le proprieta' dell'insieme dei numeri interi etc.
Sono d'accordo pure qua.
L'idea, credo, sia quella di generalizzare rendendo le cose piu' generali, ma non troppo difficili. Poi si puo' sempre generlizzare ancora. Ad esempio ci sono spazi vettoriali con operazione di prodotto (le cosiddette algebre) che spesso non e' commutativo (vedi ad esempio l'anello delle matrici, l'anello dei quaternioni e molte altre); il prodotto negli ottonioni non e' neanche associativo. Se uno volesse, potrebbe costruire una teoria di "spazi vettoriali non commutativi" e vedere cosa viene fuori.
Esistono già, figurati se qualcuno non ci pensava. Gli spazi vettoriali su anelli invece che campi si chiamano "moduli". I moduli non commutativi per me sono una roba assurda ma sicuramente avranno qualche utilità e altrettanto sicuramente saranno state pubblicati chili di articoli al riguardo.
Un modulo e' prima di tutto un gruppo abeliano e la non commutativita' e' associata all'operazione di prodotto esterno (nel senso di operazione di composizione con un elemento dell'anello non commutativo su cui e' costruito il modulo).
Mi chiedevo cosa succede se si considerano strutture simili a spazi vettoriali, ma in cui si prende un gruppo qualsiasi invece del gruppo additivo dello spazio vettoriale. Non ho mai incontrato niente del genere e non so che utilita' possa avere, ma probabilmente qualcuno ci ha gia' pensato e forse queste strutture hanno anche un nome.
Mi chiedevo cosa succede se si considerano strutture simili a spazi vettoriali, ma in cui si prende un gruppo qualsiasi invece del gruppo additivo dello spazio vettoriale. Non ho mai incontrato niente del genere e non so che utilita' possa avere, ma probabilmente qualcuno ci ha gia' pensato e forse queste strutture hanno anche un nome.
In alcuni libri di algebra graduate sono trattati. Li trovi sotto il nome di gruppi con operatori. http://en.wikipedia.org/wiki/Group_with_operators
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