Spazi vettoriali

[_peter_]

ciao ragazzi
volevo proporvi un esercizio che mi sta creando problemi, eccolo:
Sia U il sottospazio vettoriale di R4 è tale che U⊥=Span{(2,1,0,-1);(3,-1,2,1)}. Allora:
a) U=Span {(5,0,2,0);(1,-2,2,2)}
b) U=Span {(4,-1,4,1);(1,1,-2,-1)}
c) U={(x,y,z,w) ∈ R4 / 5x+2z=0=x-2y+2z+2w=0}
d) U={(x,y,z,w) ∈ R4 / 4x+w=0=x+y-2z-w=0}

la risposta è la C ma non capisco come abbia fatto, spero mi aiutiate perchè il 10 ho l'esame di geometria grazie!!

[Sk_Anonymous]

Se il prodotto scalare in U è quello ordinario la risposta è semplice. \(\displaystyle U,U^{\perp} \) sono ortogonali solo e solo se ogni vettore di U è ortogonale a tutti i vettori di \(\displaystyle U^{\perp} \)
Pertanto, detto $(x,y,z,w)$ il generico vettore di U, deve aversi il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}(x,y,z,w).(2,1,0,-1)=0\\(x,y,z,w) . (3,-1,2,1)=0 \end{cases} \)
Ovvero :
(1) \(\displaystyle \begin{cases}2x+1y+0z-1w=0\\3x-1y+2z+1w=0\end{cases} \)
Adesso, sommando e sottraendo le equazioni del sistema (1), ottengo:
\(\displaystyle \begin{cases}5x+2z=0\\x-2y+2z+2w=0\end{cases} \)
che corrisponde alla risposta (C)

[_peter_]

grazie mille!!!
un ultima domanda
e se invece avessi avuto U e dovevo trovare U┴ ??