Spazi vettoriali
Ciao a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo esercizio?
Nello spazio vettoriale $ R^3 $ si considerino i seguenti sottospazi:
$ A= {(x,y,z) : x+2y+z=0} $
$ B= <(0,3,-1), (1,2,0)> $
determinare una base dello spazio $ Ann B $
Non ho idea di come procedere, l'unica cosa che ho pensato è di trovarmi i vettori che soddisfano $ A $ ma poi non so come continuare.
Grazie in anticipo
Nello spazio vettoriale $ R^3 $ si considerino i seguenti sottospazi:
$ A= {(x,y,z) : x+2y+z=0} $
$ B= <(0,3,-1), (1,2,0)> $
determinare una base dello spazio $ Ann B $
Non ho idea di come procedere, l'unica cosa che ho pensato è di trovarmi i vettori che soddisfano $ A $ ma poi non so come continuare.
Grazie in anticipo
Risposte
Nello spazio vettoriale $ RR^3 $ si considerino i seguenti sottospazi:
$ A= { (x,y,z) : x+2y+z=0} $; $ B= <(0,3,-1), (1,2,0)>$. Determinare una base dello spazio $ A nn B $
Si ha $dim(A)=dim(B)=2$, dunque $dim(A nn B) in {0,1,2}$.
Per avere dimensione $2$ si dovrebbe avere $A=B$, ma ciò non accade,
poichè $(1,2,0) in B$ ma $(1,2,0) notinA$.
Quindi $dim(A nn B)= 0$ oppure $dim(A nn B)=1$
Facciamo la differenza tra i due generatori di $B$: $v=(-1,1,-1)$
Ecco, $v in B$ e $v in A$. Dunque ...
Grazie!!! quindi è sbagliato pensare di trovare un vettore dall'equazione di A?
Non capisco perchè bisogna fare la differenza tra i generatori. In questo caso ho notato che è soddisfatta l'equazione di A.
Potresti spiegarmi il procedimento gentilmente?
Non capisco perchè bisogna fare la differenza tra i generatori. In questo caso ho notato che è soddisfatta l'equazione di A.
Potresti spiegarmi il procedimento gentilmente?
Effettivamente ho risolto l'esercizio in modo poco chiaro.
Ho fatto la differenza perchè "a occhio" ho notato che quel vettore che salta fuori appartiene sia ad $A$ che a $B$.
Però è meglio fare in un altro modo:
$B=<(0,3,-1),(1,2,0)>$. Possiamo affermare quanto segue:
$ulv in B <=> EE a,b in RR$ tali che $ulv=a*(0,3,-1)+b*(1,2,0)$,
cioè $ulv= (0*a+1*b,3*a+2*b,-1*a+0*b)$.
In sintesi un generico vettore di $B$ è della forma $(b,3a+2b,-a)$, con $a,b in RR$ opportuni.
Ora, un vettore $(x,y,z)$ di $RR^3$ appartiene ad $A$ se $x+2y+z=0$.
Quindi un vettore di $B$ appartiene anche ad $A$ se $b+2(3a+2b)+(-a)=0$, cioè se $5a+5b=0$.
Questo vuol dire che se $a= -b$ il vettore appartiene sia ad $A$ che a $B$.
Scegliendo $a=1$, e dunque $b= -1$ abbiamo $(-1,1,-1)$.
Questo ci dà la garanzia che $dim(A nn B)$ è almeno $1$.
Inoltre, come ho detto nel mio post precedente, deve valere che $dim(A nn B)<=1$.
Pertanto $dim(A nn B)=1$ da cui $A nn B= <(-1,1,-1)>$
Ho fatto la differenza perchè "a occhio" ho notato che quel vettore che salta fuori appartiene sia ad $A$ che a $B$.
Però è meglio fare in un altro modo:
$B=<(0,3,-1),(1,2,0)>$. Possiamo affermare quanto segue:
$ulv in B <=> EE a,b in RR$ tali che $ulv=a*(0,3,-1)+b*(1,2,0)$,
cioè $ulv= (0*a+1*b,3*a+2*b,-1*a+0*b)$.
In sintesi un generico vettore di $B$ è della forma $(b,3a+2b,-a)$, con $a,b in RR$ opportuni.
Ora, un vettore $(x,y,z)$ di $RR^3$ appartiene ad $A$ se $x+2y+z=0$.
Quindi un vettore di $B$ appartiene anche ad $A$ se $b+2(3a+2b)+(-a)=0$, cioè se $5a+5b=0$.
Questo vuol dire che se $a= -b$ il vettore appartiene sia ad $A$ che a $B$.
Scegliendo $a=1$, e dunque $b= -1$ abbiamo $(-1,1,-1)$.
Questo ci dà la garanzia che $dim(A nn B)$ è almeno $1$.
Inoltre, come ho detto nel mio post precedente, deve valere che $dim(A nn B)<=1$.
Pertanto $dim(A nn B)=1$ da cui $A nn B= <(-1,1,-1)>$
Grazie mille per la risposta, non riesco capire solo una cosa se a=-b c da dove bisogna prenderlo? perchè hai messo -1?
Grazie tante ancora!
Grazie tante ancora!
Mi è venuta fuori la condizione $a= -b$.
Ho scelto io $a=1$ ... per comodità.
Potevo scegliere un qualunque valore (non nullo, altrimenti mi veniva fuori il vettor nullo)
Ho scelto io $a=1$ ... per comodità.
Potevo scegliere un qualunque valore (non nullo, altrimenti mi veniva fuori il vettor nullo)
scusami forse mi sono spiegato male intendevo come hai fatto a trovare $ c $
$c$? Non c'è nessuna $c$.
il vettore intersezione è $ (-1,1,-1 ) $
tu hai trovato $ a $ e $ b $
$ a=-1 $ $ b=1 $ e $ c=-1 $ non capisco come hai trovato l'ultima coordinata, scusa forse mi sfugge qualcosa
tu hai trovato $ a $ e $ b $
$ a=-1 $ $ b=1 $ e $ c=-1 $ non capisco come hai trovato l'ultima coordinata, scusa forse mi sfugge qualcosa
Ripeto: un generico vettore di $B$ è della forma $(b, 3a+2b, -a)$ con $a,b in RR$ (l'ho trovato facendo i conti prima)
Affinchè questo generico vettore appartenga anche ad $A$ si deve avere $a= -b$.
Quindi scelgo io ${(a=1),(b= -1):}$ e li vado a sostituire in $(b,3a+2b,-a)$ ottenendo $(-1,1,-1)$
Affinchè questo generico vettore appartenga anche ad $A$ si deve avere $a= -b$.
Quindi scelgo io ${(a=1),(b= -1):}$ e li vado a sostituire in $(b,3a+2b,-a)$ ottenendo $(-1,1,-1)$
Perfetto 
grazie mille sono stato un imbranato!!!! 
grazie mille sono stato un imbranato!!!!
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