Spazi topologici separabili e basi numerabili.
Vi propongo la mia risoluzione di un esercizio, forse banale ma comunque interessante.
Premessa: se uno spazio topologico $(X, \tau)$ ammette una base numerabile di aperti, sia essa $(B_j)_{j\in\mathbb{N}}$, allora ammette un sottoinsieme denso numerabile (ovvero lo spazio topologico $(X,\tau)$ è separabile). Il denso numerabile $D$ in oggetto si ottiene facilmente pescando un $x_j$ da ogni $B_j$ non vuoto, $D=\{x_j:x_j\in B_j\}$ ed osservando che un aperto non vuoto qualunque, essendo unione di elementi della famiglia di aperti $(B_j)_{j\in\mathbb{N}}$, avrà necessariamente intersezione non vuota con $D$ (contiene almeno un $B_j$ non vuoto, dunque l'$x_j\in B_j$ precedentemente scelto).
L'esercizio è una sorta di implicazione inversa: è vero che uno spazio topologico $(X,\tau)$ separabile (ovvero che ammette un sottoinsieme denso numerabile) e metrizzabile ammette una base numerabile di aperti?
Sia $D=\{x_j:j\in\mathbb{N}\}$ il denso numerabile in oggetto. Consideriamo la famiglia numerabile di aperti $\mathcal{B}=\{B(x_j,1/k[:j,k\in\mathbb{N}, k\geq1\}$. E' base? Ricordiamo che in uno spazio topologico una famiglia $\mathcal{B}$ di aperti è base se e solo se $\forall A$ aperto e $\forall a\in A$ esiste $U_a\in\mathcal{B}$ tale che $a\in U_a\subseteq A$ (la condizione è chiaramente necessaria, è anche sufficiente perchè in tal caso $A=\bigcup_{a\in A}U_a$). Proviamo a vedere se ciò vale nel nostro caso. Sia $A$ aperto, $a\in A$. Allora esiste una palla aperta centrata in $a$ di raggio $\epsilon$ e contenuta in $A$, sia essa $B(a,\epsilon[$. Chiaramente si ha $B(a,\epsilon/2[\subseteq B(a,\epsilon[\subseteq A$. Essendo $B(a,\epsilon/2[$ un aperto non vuoto, conterrà un $x_{\tilde{j}}\in D$. Consideriamo $B(x_{\tilde{j}},\epsilon/2[$. Si ha $a\in B(x_{\tilde{j}},\epsilon/2[$, e inoltre $B(x_{\tilde{j}},\epsilon/2[\subseteq B(a,\epsilon[\subseteq A$. Ma allora abbiamo provato che esiste un elemento della famiglia $\mathcal{B}$ che contiene $a$ e contenuto in $A$, e ciò vale per ogni aperto $A$ e per ogni $a\in A$. Abbiamo concluso.
Che ne dite? Mi sembra un po' troppo laboriosa, a qualcuno viene in mente qualcos'altro?
Premessa: se uno spazio topologico $(X, \tau)$ ammette una base numerabile di aperti, sia essa $(B_j)_{j\in\mathbb{N}}$, allora ammette un sottoinsieme denso numerabile (ovvero lo spazio topologico $(X,\tau)$ è separabile). Il denso numerabile $D$ in oggetto si ottiene facilmente pescando un $x_j$ da ogni $B_j$ non vuoto, $D=\{x_j:x_j\in B_j\}$ ed osservando che un aperto non vuoto qualunque, essendo unione di elementi della famiglia di aperti $(B_j)_{j\in\mathbb{N}}$, avrà necessariamente intersezione non vuota con $D$ (contiene almeno un $B_j$ non vuoto, dunque l'$x_j\in B_j$ precedentemente scelto).
L'esercizio è una sorta di implicazione inversa: è vero che uno spazio topologico $(X,\tau)$ separabile (ovvero che ammette un sottoinsieme denso numerabile) e metrizzabile ammette una base numerabile di aperti?
Sia $D=\{x_j:j\in\mathbb{N}\}$ il denso numerabile in oggetto. Consideriamo la famiglia numerabile di aperti $\mathcal{B}=\{B(x_j,1/k[:j,k\in\mathbb{N}, k\geq1\}$. E' base? Ricordiamo che in uno spazio topologico una famiglia $\mathcal{B}$ di aperti è base se e solo se $\forall A$ aperto e $\forall a\in A$ esiste $U_a\in\mathcal{B}$ tale che $a\in U_a\subseteq A$ (la condizione è chiaramente necessaria, è anche sufficiente perchè in tal caso $A=\bigcup_{a\in A}U_a$). Proviamo a vedere se ciò vale nel nostro caso. Sia $A$ aperto, $a\in A$. Allora esiste una palla aperta centrata in $a$ di raggio $\epsilon$ e contenuta in $A$, sia essa $B(a,\epsilon[$. Chiaramente si ha $B(a,\epsilon/2[\subseteq B(a,\epsilon[\subseteq A$. Essendo $B(a,\epsilon/2[$ un aperto non vuoto, conterrà un $x_{\tilde{j}}\in D$. Consideriamo $B(x_{\tilde{j}},\epsilon/2[$. Si ha $a\in B(x_{\tilde{j}},\epsilon/2[$, e inoltre $B(x_{\tilde{j}},\epsilon/2[\subseteq B(a,\epsilon[\subseteq A$. Ma allora abbiamo provato che esiste un elemento della famiglia $\mathcal{B}$ che contiene $a$ e contenuto in $A$, e ciò vale per ogni aperto $A$ e per ogni $a\in A$. Abbiamo concluso.
Che ne dite? Mi sembra un po' troppo laboriosa, a qualcuno viene in mente qualcos'altro?
Risposte
Sapreste dirmi se secondo voi è giusta??
Due cose:
I) hai sbagliato sezione;
II) la premessa è vera se si accetta per vero l'assioma della scelta (numerabile);
dato che non c'è due senza tre:
III) sono troppo stanco per controllare la seconda parte, non mi dire nulla!
I) hai sbagliato sezione;
II) la premessa è vera se si accetta per vero l'assioma della scelta (numerabile);
dato che non c'è due senza tre:
III) sono troppo stanco per controllare la seconda parte, non mi dire nulla!
Va quasi bene, devi solo specificare che per \(\epsilon\) fissato esiste un \(k\) tale che \(1/k < \epsilon/2\) e quindi \(B(x_j, 1/k) \subset B(x_j, \varepsilon/2)\). Non credo si possa fare più rapidamente, del resto già così è piuttosto straightforward.
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Geometria.[/xdom]
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