Spazi topologici e azioni di gruppi
Salve a tutti...ho un problema con questo esercizio:
Sia $H$=${(x,y) in RR^2: y>=0}$ con la topologia indotta da quella euclidea di $RR^2$. Sia $f(x,y)=(x+1,y)$.
Sia $G sub \text{Aut(H)}$ il gruppo cicilico generato da $f$. Provare che $G$ agisce in modo propriamente discontinuo su $H$.
Ma da dove devo iniziare? La cosa che mi sconvolge di più è che non mi definisce qual è l'azione del gruppo..come faccio allora?
Ho provato a dimostrarlo per assurdo, ma non arrivo a nessuna conclusione...potete suggerirmi qualche strada?
Grazie mille
Sia $H$=${(x,y) in RR^2: y>=0}$ con la topologia indotta da quella euclidea di $RR^2$. Sia $f(x,y)=(x+1,y)$.
Sia $G sub \text{Aut(H)}$ il gruppo cicilico generato da $f$. Provare che $G$ agisce in modo propriamente discontinuo su $H$.
Ma da dove devo iniziare? La cosa che mi sconvolge di più è che non mi definisce qual è l'azione del gruppo..come faccio allora?
Ho provato a dimostrarlo per assurdo, ma non arrivo a nessuna conclusione...potete suggerirmi qualche strada?
Grazie mille
Risposte
Il gruppo degli automorfismi di un insieme mi fa il favore di agire naturalmente su quell'insieme 
Cosa significa"naturalmente"? Non capisco 
Hai fatto topologia ma non algebra? BIzzarro.
Il gruppo delle funzioni biiettive di un insieme $X$ agisce su un insieme nel modo ovvio, mandando la coppia $(f\in Aut(X), x\in X)$ nell'elemento $f(x)$; questa e' una azione di gruppo.
Il gruppo delle funzioni biiettive di un insieme $X$ agisce su un insieme nel modo ovvio, mandando la coppia $(f\in Aut(X), x\in X)$ nell'elemento $f(x)$; questa e' una azione di gruppo.
Grazie..adesso è più chiaro..!
Allora devo dimostrare che $AA x in H$ $EE$ un intorno $V$ che contiene x tale che $AA f,f' in G$ $⇒$ $f(V) nn f'(V)=∅$
Suppongo per assurdo che esista $y in f(V) nn f'(V)$ $⇒$ $y in f(V)$ e $y in f'(V)$
$⇒$ $EE x in V$ tale che $f(x)=y$ ed $EE x' in V$ tale che $f'(x)=y$ $⇒$ $f(x)=f'(x')$
Va bene fin qui? Solo che non riesco ad andare avanti adesso..quale sarebbe l' assurdo? Devo sicuramente sfruttare il fatto che G sia ciclico...
!Allora devo dimostrare che $AA x in H$ $EE$ un intorno $V$ che contiene x tale che $AA f,f' in G$ $⇒$ $f(V) nn f'(V)=∅$
Suppongo per assurdo che esista $y in f(V) nn f'(V)$ $⇒$ $y in f(V)$ e $y in f'(V)$
$⇒$ $EE x in V$ tale che $f(x)=y$ ed $EE x' in V$ tale che $f'(x)=y$ $⇒$ $f(x)=f'(x')$
Va bene fin qui? Solo che non riesco ad andare avanti adesso..quale sarebbe l' assurdo? Devo sicuramente sfruttare il fatto che G sia ciclico...
Puoi usare una caratterizzazione piu' semplice, provando che esiste un intorno di $x$ che viene spostato completamente da ogni $f\in G$: devi mostrare che per ogni $x\in H$ esiste un \(V\ni x\) tale che \(V\cap fV=\varnothing\).
E questo e' facile. Fissa un punto $x$ nel semipiano; la sua orbita e' discreta e gli elementi sono equispaziati, distanti 1. Tanto basta a concludere (basta prendere ad esempio una palla di centro $x$ e raggio \(1/3\)).
E questo e' facile. Fissa un punto $x$ nel semipiano; la sua orbita e' discreta e gli elementi sono equispaziati, distanti 1. Tanto basta a concludere (basta prendere ad esempio una palla di centro $x$ e raggio \(1/3\)).
Adesso ho capito!! Grazie mille !!!!
!!!!
Adesso un altro bel problema è calcolare il gruppo fondamentale di $X=H/G$
Questo è il gruppo formato dalle orbite, no? E' connesso per archi, quindi posso calcolarlo in un punto qualsiasi.
Ora applico Van Kampen? Quindi devo trovare due sottoinsiemi connessi per archi e aperti tali che l'unione mi dia X e l'intersezione sia non vuota e connessa per archi?
Con una visualizzazione "ad occhio" mi sembra di poter dire che il gruppo fondamentale sia quello banale, ma non ne sono convinta!
Questo è il gruppo formato dalle orbite, no? E' connesso per archi, quindi posso calcolarlo in un punto qualsiasi.
Ora applico Van Kampen? Quindi devo trovare due sottoinsiemi connessi per archi e aperti tali che l'unione mi dia X e l'intersezione sia non vuota e connessa per archi?
Con una visualizzazione "ad occhio" mi sembra di poter dire che il gruppo fondamentale sia quello banale, ma non ne sono convinta!
E sempre questo gruppo quoziente $X$ è Hausdorff, connesso, compatto, I numnerabile, II numerabile?
Non so da dove iniziare....H non è compatto...e quindi nemmeno X, no?
Non so da dove iniziare....H non è compatto...e quindi nemmeno X, no?
Anzitutto $X$ e' omeomorfo ad un cilindro, come ti lascio scoprire mostrando per esempio che la mappa che manda \(H\ni (x,y)\mapsto (e^{2\pi i x},y)\) e' un omeomorfismo (se non e' lei e' qualcosa di simile, che ti fa ottenere un omeomorfismo da $X$ a $S^1\times\mathbb R$).
Ora e' un fatto generale (spiegato dalla teoria di Galois dei rivestimenti) che se \(\tilde X\to B\) e' il rivestimento universale di $B$, allora il gruppo fondamentale $\pi_1(B)$ della base agisce sullo spazio totale "nel modo giusto" affinche' lo spazio delle orbite \(\tilde X/\pi_1\) abbia gruppo fondamentale esattamente $\pi_1$: questa stessa cosa vale poi per ogni sottogruppo $K\le \pi_1$, che agisce anche lui sullo spazio totale, dando uno spazio che ha gruppo fondamentale esattamente $K$. In termini piu' forbiti, esiste una biiezione antimonotona tra due insiemi ordinati, quello dei sottogruppi del gruppo fondamentale di $B$ e quello dei rivestimenti intermedi $\tilde X\to X\to B$.
Ora e' un fatto generale (spiegato dalla teoria di Galois dei rivestimenti) che se \(\tilde X\to B\) e' il rivestimento universale di $B$, allora il gruppo fondamentale $\pi_1(B)$ della base agisce sullo spazio totale "nel modo giusto" affinche' lo spazio delle orbite \(\tilde X/\pi_1\) abbia gruppo fondamentale esattamente $\pi_1$: questa stessa cosa vale poi per ogni sottogruppo $K\le \pi_1$, che agisce anche lui sullo spazio totale, dando uno spazio che ha gruppo fondamentale esattamente $K$. In termini piu' forbiti, esiste una biiezione antimonotona tra due insiemi ordinati, quello dei sottogruppi del gruppo fondamentale di $B$ e quello dei rivestimenti intermedi $\tilde X\to X\to B$.
Questo omeomorfismo mi piace!!!!! E' proprio quello che non riuscivo a trovare...Grazie..!
I rivestimenti però non li ho studiati..non posso calcolarmi il gruppo fondamentale del cilindro in un altro modo?
So che il cilindro si retrae ad una circonferenza ed il gruppo fondamentale della circonferenza è $ZZ$...quindi posso dire che $pi_1(X,x_0)=ZZ$ no?
!I rivestimenti però non li ho studiati..non posso calcolarmi il gruppo fondamentale del cilindro in un altro modo?
So che il cilindro si retrae ad una circonferenza ed il gruppo fondamentale della circonferenza è $ZZ$...quindi posso dire che $pi_1(X,x_0)=ZZ$ no?
E poi, sempre grazie a questo omeomorfismo, posso dire che $X$ è Hausdorff, non compatto, connesso, spazio metrico (e quindi I numerabile)..saresti d'accordo? Solo che queste cose non le risco a dimostare..le vedo un po' così...ci sarebbe un modo rigoroso di procedere?
Il gruppo fondamentale che cerchi è Z, infatti il gruppo G è isomorfo a Z. Ciò è in accordo con quel che ho detto prima. 
Per il resto un cilindro è uno spazio T2 connesso (è sottospazio di un T2, la connessione falla a mano mostrando che lo è per archi), non compatto (contiene rette), metrico perché la topologia di Rn è indotta da una metrica, quella solita.
Per il resto un cilindro è uno spazio T2 connesso (è sottospazio di un T2, la connessione falla a mano mostrando che lo è per archi), non compatto (contiene rette), metrico perché la topologia di Rn è indotta da una metrica, quella solita.
Evvai...Forse qualcosa sto iniziando a capire!! Grazie per la pazienza
E poi se dimostro che è separabile (prendendo come sottospazio le di numeri razionali) posso dire che è anche II numerabile
E poi se dimostro che è separabile (prendendo come sottospazio le di numeri razionali) posso dire che è anche II numerabile
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