Spazi topologici connessi per archi con gruppo fondamentale isomorfo a $\mathbb{Z_2}$
Salve a tutti sto cercando di rispondere a questa domanda:
indicare, a meno di isomorfismi, tutti i gruppi che hanno due elementi. Indicare per ciascun gruppo un esempio esplicito di spazio topologico connesso per archi e che ha gruppo fondamentale isomorfo a quel gruppo.
I gruppi che contengono esattamente due elementi sono quelli isomorfi a $\mathbb{Z_2}$. Uno spazio topologico connesso per archi che ha gruppo fondamentale isomorfo a $\mathbb{Z_2}$ è il piano proiettivo reale $\mathbb{R}P^2$
Non so se sia giusto e se ho detto qualche cavolata.
Grazie per l'aiuto.
indicare, a meno di isomorfismi, tutti i gruppi che hanno due elementi. Indicare per ciascun gruppo un esempio esplicito di spazio topologico connesso per archi e che ha gruppo fondamentale isomorfo a quel gruppo.
I gruppi che contengono esattamente due elementi sono quelli isomorfi a $\mathbb{Z_2}$. Uno spazio topologico connesso per archi che ha gruppo fondamentale isomorfo a $\mathbb{Z_2}$ è il piano proiettivo reale $\mathbb{R}P^2$
Non so se sia giusto e se ho detto qualche cavolata.
Grazie per l'aiuto.
Risposte
Perfetto direi.
Grazie 
"NRyoma":
I gruppi che contengono esattamente due elementi sono quelli isomorfi a $\mathbb{Z_2}$.
Perché?
"NRyoma":
Uno spazio topologico connesso per archi che ha gruppo fondamentale isomorfo a $\mathbb{Z_2}$ è il piano proiettivo reale $\mathbb{R}P^2$
Giusto. Esistono altri spazi topologici che non hanno lo stesso tipo d'omotopia del piano proiettivo reale, ma che hanno lo stesso gruppo fondamentale? Se sì, quali sono delle ipotesi aggiuntive che renderebbero la risposta negativa?
"Epimenide93":[/quote]
[quote="NRyoma"]I gruppi che contengono esattamente due elementi sono quelli isomorfi a $ \mathbb{Z_2} $.
Perché?
Infatti non sono convinto di questa affermazione. Se $G$ è un gruppo che ha due elementi uno di essi è l'elemento neutro e l'altro è un elemento che appartiene all'insieme $G$. Un esempio di gruppo di due elementi è $S_2$ il gruppo simmetrico su due oggetti. Quali sarebbero i gruppi con due elementi?
"NRyoma":
Uno spazio topologico connesso per archi che ha gruppo fondamentale isomorfo a $ \mathbb{Z_2} $ è il piano proiettivo reale $ \mathbb{R}P^2 $
Giusto. Esistono altri spazi topologici che non hanno lo stesso tipo d'omotopia del piano proiettivo reale, ma che hanno lo stesso gruppo fondamentale? Se sì, quali sono delle ipotesi aggiuntive che renderebbero la risposta negativa?
Non lo so, a parte il piano proiettivo reale non mi viene in mente niente
"NRyoma":
Infatti non sono convinto di questa affermazione. Se $G$ è un gruppo che ha due elementi uno di essi è l'elemento neutro e l'altro è un elemento che appartiene all'insieme $G$. Un esempio di gruppo di due elementi è $S_2$ il gruppo simmetrico su due oggetti. Quali sarebbero i gruppi con due elementi?
Faresti meglio a convincerti, ci sono mille modi per dimostrare che $\mathbb{Z}_2$ è l'unico gruppo con due elementi. Pensa alle presentazioni, agli ordini degli elementi... E' facilissimo dare un isomorfismo esplicito tra $\mathbb{Z}_2$ e $\text{S}_2$, prova!
"Epimenide93":
Esistono altri spazi topologici che non hanno lo stesso tipo d'omotopia del piano proiettivo reale, ma che hanno lo stesso gruppo fondamentale? Se sì, quali sono delle ipotesi aggiuntive che renderebbero la risposta negativa?
Pensi a rivestimenti di grado 2?
Vorrei fare una nota sull'ultimo punto in quanto ci sono diversi modi per rispondere.
Se $X$ e' uno spazio topologico (connesso, connesso per archi e con tutte le ipotesi che servono per farci i gruppi di omotopia e forse qualcosina in piu' (tipo una locale semplice connessione in almeno un punto)) allora si possono costruire banalmente esempi di spazi topologici con lo stesso $\pi_1$ di $X$ semplicemente facendo una wedge sum di $X$ con qualcosa che ha gruppo di omotopia banale ma che non sia contrattile (tipo una sfera in qualche dimensione alta).
Tuttavia questo non credo risponda alla domanda di Epimenide93, che immagino abbia in mente qualche esempio un po' piu' succoso. Tuttavia in questo caso non mi viene in mente nulla.
Se $X$ e' uno spazio topologico (connesso, connesso per archi e con tutte le ipotesi che servono per farci i gruppi di omotopia e forse qualcosina in piu' (tipo una locale semplice connessione in almeno un punto)) allora si possono costruire banalmente esempi di spazi topologici con lo stesso $\pi_1$ di $X$ semplicemente facendo una wedge sum di $X$ con qualcosa che ha gruppo di omotopia banale ma che non sia contrattile (tipo una sfera in qualche dimensione alta).
Tuttavia questo non credo risponda alla domanda di Epimenide93, che immagino abbia in mente qualche esempio un po' piu' succoso. Tuttavia in questo caso non mi viene in mente nulla.
@NRyoma Come dev'essere fatta la tabella moltiplicativa di un gruppo con due elementi?
Invece era esattamente una delle risposte che speravo di ricevere quando ho fatto la domanda
Venendo alla seconda parte della domanda, in effetti sì. L'esempio fatto (prendiamo ad esempio \(\mathbb{RP}^2 \vee \mathbf{S}^2\)) è uno dei più naturali. È un oggetto molto regolare, infatti è sia compatto che connesso. D'altronde, non è una varietà topologica, perché il punto d'intersezione tra i due spazi non ha un intorno omeomorfo ad un aperto di un \(\mathbb{R}^n\). Per il teorema di classificazione, se chiediamo di lavorare con varietà topologiche chiuse sappiamo che finché restiamo in dimensione 2, \(\mathbb{RP}^2\) è la nostra unica possibilità. La domanda quindi diventa, esistono varietà topologiche di dimensione >2 con gruppo fondamentale ciclico di ordine 2? (Direi che se interpreto bene la domanda, Frink ha trovato un modo per rispondere, che porterebbe alla stessa conclusione cui ero giunto io percorrendo una strada diversa.)
In realtà la mia intenzione iniziale era semplicemente mettere una punta di pepe su un esercizio standard, ma già che siamo in ballo... esistono spazi debolmente equivalenti a (ovvero con gli stessi gruppi d'omotopia di) \(\mathbb{RP}^2\) ma di una diversa classe di omotopia?
"Pappappero":
Se $X$ e' uno spazio topologico (connesso, connesso per archi e con tutte le ipotesi che servono per farci i gruppi di omotopia e forse qualcosina in piu' (tipo una locale semplice connessione in almeno un punto)) allora si possono costruire banalmente esempi di spazi topologici con lo stesso $\pi_1$ di $X$ semplicemente facendo una wedge sum di $X$ con qualcosa che ha gruppo di omotopia banale ma che non sia contrattile (tipo una sfera in qualche dimensione alta).
Tuttavia questo non credo risponda alla domanda di Epimenide93
Invece era esattamente una delle risposte che speravo di ricevere quando ho fatto la domanda
"Pappappero":
che immagino abbia in mente qualche esempio un po' piu' succoso.
Venendo alla seconda parte della domanda, in effetti sì. L'esempio fatto (prendiamo ad esempio \(\mathbb{RP}^2 \vee \mathbf{S}^2\)) è uno dei più naturali. È un oggetto molto regolare, infatti è sia compatto che connesso. D'altronde, non è una varietà topologica, perché il punto d'intersezione tra i due spazi non ha un intorno omeomorfo ad un aperto di un \(\mathbb{R}^n\). Per il teorema di classificazione, se chiediamo di lavorare con varietà topologiche chiuse sappiamo che finché restiamo in dimensione 2, \(\mathbb{RP}^2\) è la nostra unica possibilità. La domanda quindi diventa, esistono varietà topologiche di dimensione >2 con gruppo fondamentale ciclico di ordine 2? (Direi che se interpreto bene la domanda, Frink ha trovato un modo per rispondere, che porterebbe alla stessa conclusione cui ero giunto io percorrendo una strada diversa.)
In realtà la mia intenzione iniziale era semplicemente mettere una punta di pepe su un esercizio standard, ma già che siamo in ballo... esistono spazi debolmente equivalenti a (ovvero con gli stessi gruppi d'omotopia di) \(\mathbb{RP}^2\) ma di una diversa classe di omotopia?
"Epimenide93":
[...] esistono spazi debolmente equivalenti a (ovvero con gli stessi gruppi d'omotopia di) \(\mathbb{RP}^2\) ma di una diversa classe di omotopia?
Ciò che in genere si intende per equivalenza debole tra due spazi \(X\) e \(Y\) è più forte di quello che intendi tu: ovvero, si richiede che gli isomorfismi tra i gruppi di omotopia di \(X\) e \(Y\) siano indotti da una mappa continua \(X \to Y\).
Utilizzando questa definizione, per il Teorema di Whitehead (http://en.wikipedia.org/wiki/Whitehead_theorem), la risposta alla tua domanda è negativa (almeno nella classe degli spazi omotopicamente equivalenti ai CW complessi, che è ragionevolmente vasta).
Tuttavia, esistono CW complessi con gli stessi gruppi di omotopia di \(\mathbb{RP}^2\) ma con tipo di omotopia diverso.
@elvis mi hai letto nel pensiero 
sull'equivalenza debole hai ovviamente ragione, il mio lapsus è scaturito dal fatto che volessi andare a parare sui due esempi che hai presentato.
Abbiamo la risposta alla domanda complessa. Manca quella alla domanda facile
sull'equivalenza debole hai ovviamente ragione, il mio lapsus è scaturito dal fatto che volessi andare a parare sui due esempi che hai presentato.Abbiamo la risposta alla domanda complessa. Manca quella alla domanda facile
"Epimenide93":
Abbiamo la risposta alla domanda complessa. Manca quella alla domanda facile
Visto che fate i timidi...
Esiste una (e in realtà infinite) varietà topologica chiusa con gruppo fondamentale ciclico di ordine due, ed è \(\mathbb{RP}^3\) (per completezza, ogni \(\mathbb{RP}^n\) con \(n>2\) ha tale gruppo fondamentale). Un modo per vedere questo è, come suggeriva Frink, quello di dimostrare che il rivestimento di \(\mathbb{RP}^3\) visto come quoziente di \(\mathbf{S}^3\), con la proiezione di rivestimento data dalla proiezione sul quoziente, è un rivestimento universale (le sfere di dimensione maggiore di 2 sono infatti semplicemente connesse), ed ha grado 2.
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