Spazi topologici, chiusura di A
Da Analisi Matematica, Paolo Maurizio Soardi, Spazi Metrici, pag. 63:
($\bar{A}$ = A $uu$ $\hat{A}$ ovvero la chiusura di A, con $\hat{A}$ insieme dei punti di accumulazione di A)
Sia (X, d) un spazio metrico e sia A $sube$ X.
a) $\bar{A}$ è un insieme chiuso.
Dimostrazione
Mostriamo ogni punto di accumulazione di $\bar{A}$ appartiene ad $\bar{A}$.
Se p è un punto di accumulazione per A $uu$ $\hat{A}$, allora p deve essere di accumulazione per almeno uno dei due sottoinsiemi.
Se p è un punto di accumulazione per A allora p $in$ ad $\hat{A}$. Se p è di accumulazione per $\hat{A}$, ogni intorno B(p, r) deve contenere un punto x $in$ $\hat{A}$. Poiché B(p, r) è aperto, esiste s > 0 tale che B(x, s). Poiché B(x, s) contiene infiniti punti di A, lo stesso vale per B(p, r). Quindi di nuovo p $in$ $\hat{A}$.
Per quanto sia probabilmente estremamente semplice, non riesco onestamente a comprendere la dimostrazione nel libro di Soardi, più precisamente perché utilizza B(x, s) per dimostrare la tesi. Grazie in anticipo per qualsiasi risposta.
($\bar{A}$ = A $uu$ $\hat{A}$ ovvero la chiusura di A, con $\hat{A}$ insieme dei punti di accumulazione di A)
Sia (X, d) un spazio metrico e sia A $sube$ X.
a) $\bar{A}$ è un insieme chiuso.
Dimostrazione
Mostriamo ogni punto di accumulazione di $\bar{A}$ appartiene ad $\bar{A}$.
Se p è un punto di accumulazione per A $uu$ $\hat{A}$, allora p deve essere di accumulazione per almeno uno dei due sottoinsiemi.
Se p è un punto di accumulazione per A allora p $in$ ad $\hat{A}$. Se p è di accumulazione per $\hat{A}$, ogni intorno B(p, r) deve contenere un punto x $in$ $\hat{A}$. Poiché B(p, r) è aperto, esiste s > 0 tale che B(x, s). Poiché B(x, s) contiene infiniti punti di A, lo stesso vale per B(p, r). Quindi di nuovo p $in$ $\hat{A}$.
Per quanto sia probabilmente estremamente semplice, non riesco onestamente a comprendere la dimostrazione nel libro di Soardi, più precisamente perché utilizza B(x, s) per dimostrare la tesi. Grazie in anticipo per qualsiasi risposta.
Risposte
Non ho capito:... tale che $B(x,s)$??
scusate, tale che B(x, s) $subset$ B(p, r).
Tu sai che $x$ è di accumulazione per $A$, dunque $B(x,s)$ contiene infiniti punti di $A$ per ogni $s>0$.
Ancora non sai che $p$ è di accumulazione (lo stai dimostrando), quindi a priori nulla puoi dire su $B(p,r)\cap A$.
Ancora non sai che $p$ è di accumulazione (lo stai dimostrando), quindi a priori nulla puoi dire su $B(p,r)\cap A$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo