Spazi topologici che nn metrizabili

[squalllionheart]

Stavo meditando su questa affermazione "Esistono spazi topologici non metrizzabili".
Gli spazio metrizzabili sono costituiti a partire da spazi metrici, cioè quelli la cui topologia è indotta da una metrica.
Ad esempio la topologia prodotto è un esempio di spazio topologico nn metrizzabile?

[ViciousGoblin]

"squalllionheart":Stavo meditando su questa affermazione "Esistono spazi topologici non metrizzabili".
Gli spazio metrizzabili sono costituiti a partire da spazi metrici, cioè quelli la cui topologia è indotta da una metrica.
Ad esempio la topologia prodotto è un esempio di spazio topologico nn metrizzabile?

Beh se i fattori sono metrizzabili allora il prodotto e' metrizzabile - quindi la risposta e' "no - non in generale"

Uno spazio topologico non metrizzabile e' quello ottenuto con la topologia banale di cui ti ho detto nell'altro post
(non puo' essere metrizzabile dato che non e' di Hausdorff). Esempi meno banali si ottengono considerando la topologia debole
su spazi vettoriali di dimesione infinita - ma credo che per ora la cosa non ti interessi.

EDIT
Se vai su http://it.wikipedia.org/wiki/Assioma_di_separazione trovi un po' di esempi di spazi non metrizzabili (perche' non T2)

[apatriarca]

Un esempio forse più interessante (in dimensione finita) è la topologia di Zariski, ad esempio in $A^n(K)$ (lo spazio affine di dimensione n su un campo K). La base per questa topologia sono tutti gli insiemi della forma $A_{f} = {P \in A^n | f(P) != 0}$ dove $f$ è un polinomio in $K[x_1, ... , x_n]$. Ti lascio la dimostrazione che è una topologia e che non è di Hausdorff (e quindi non è metrizzabile).