Spazi topologici
Studiando gli spazi topologici mi sono sorte alcune domande, probabilmente semplici, ma alle quali non trovo una risposta soddisfacente.
1. Nella definizione di insiemi chiusi si dice che, dati $A_1 ... A_n$ insiemi chiusi, allora $A_1 \cup A_2$ è chiuso e $\cap_(i<=n) A_i$ è chiuso. Ma qual'è la differenza tra le due proprietà? Perchè l'unione viene definita solo per coppie di insiemi mentre l'intersezione per famiglie (finite) di insiemi? Le due definizioni mi sembrerebbero equivalenti (a due a due o a famiglie) ma in tutte le mie fonti ho trovato questa differenza.
2. Cosa significa nello specifico che un punto è aperto o chiuso? Finchè si parla di palle o insiemi riesco a capire, ma non riesco a trovare differenze fra quello che sarebbe un punto aperto ed uno chiuso.
Grazie.
1. Nella definizione di insiemi chiusi si dice che, dati $A_1 ... A_n$ insiemi chiusi, allora $A_1 \cup A_2$ è chiuso e $\cap_(i<=n) A_i$ è chiuso. Ma qual'è la differenza tra le due proprietà? Perchè l'unione viene definita solo per coppie di insiemi mentre l'intersezione per famiglie (finite) di insiemi? Le due definizioni mi sembrerebbero equivalenti (a due a due o a famiglie) ma in tutte le mie fonti ho trovato questa differenza.
2. Cosa significa nello specifico che un punto è aperto o chiuso? Finchè si parla di palle o insiemi riesco a capire, ma non riesco a trovare differenze fra quello che sarebbe un punto aperto ed uno chiuso.
Grazie.
Risposte
Beh ma infatti la 1. non è proprio così. Se una proprietà è vera per coppie di insiemi, quasi sempre sarà vera per un qualunque numero finito di insiemi. A volere essere proprio fiscali, nel nostro caso è un fatto che discende dalla proprietà associativa di unione e intersezione.
La proprietà fondamentale "vera" dei chiusi è questa: una unione finita di chiusi è ancora chiusa, una intersezione qualsiasi di chiusi è ancora chiusa. Fai qualche prova con gli intervalli chiusi di $RR$, che sono il prototipo di insieme chiuso in uno spazio topologico.
La proprietà fondamentale "vera" dei chiusi è questa: una unione finita di chiusi è ancora chiusa, una intersezione qualsiasi di chiusi è ancora chiusa. Fai qualche prova con gli intervalli chiusi di $RR$, che sono il prototipo di insieme chiuso in uno spazio topologico.
Ok, ho compreso la differenza.
Per quanto riguarda i punti invece?
Per quanto riguarda i punti invece?
Per quanto riguarda i punti ... continua a studiare e ne capirai di più. Di solito è "strano" pensare che gli insiemi ridotti a punti singoli possano non essere chiusi (su $RR$ i punti singoli sono chiusi, e così è anche in tutti gli spazi metrici e anche in una classe molto più ampia di spazi topologici).
Molto meno strano è pensare che i punti singoli siano aperti. Hai un esempio lampante sotto gli occhi: prendi un insieme $X$ non vuoto, dotalo della topologia discreta e vedrai che tutti i singoli punti sono aperti. Un esempio meno astruso? Se hai studiato la topologia di sottospazio, che topologia ha $ZZ$ come sottospazio di $RR$?
Molto meno strano è pensare che i punti singoli siano aperti. Hai un esempio lampante sotto gli occhi: prendi un insieme $X$ non vuoto, dotalo della topologia discreta e vedrai che tutti i singoli punti sono aperti. Un esempio meno astruso? Se hai studiato la topologia di sottospazio, che topologia ha $ZZ$ come sottospazio di $RR$?
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