Spazi quozienti
Salve vorrei discutere con voi di spazi quozienti (che ho solo accennato) e lo vorrei fare con un esempio
Prima cosa dovrei avere
\[
[x]=\begin{cases}
\{x\}, & |x|\le 1 \\
\{\pm x\}, & |x|>1
\end{cases}
\]
Gli aperti di $X=\mathbb{R}/\sim$ sono tutti e sole le unioni di elementi del tipo $\pi^{-1}]a,b[$, con $\pi : \mathbb{R}\to \mathbb{R}/\sim$ la proiezione canonica. Ad esempio, se $a,b>0$
\[
\pi^{-1}]a,b[=\begin{cases} ]a,b[, & ]a,b[\subseteq [-1,1]\\
]-b,-1]\cup [a,1]\cup]1,b[, & ]a,b[\cap[-1,1]=]a,1]\\
]-b,-a[\cup]a,b[, & ]a,b[\cap ]-1,1[=\emptyset
\end{cases}
\]
Per simmetria dovrei ottenere gli altri elementi della base canonica.
Finora ha tutto senso quello che ho scritto?
Grazie
In $\mathbb{R}$ con la topologia standard si consideri l'equivalenza
\[
x\sim y \Leftrightarrow x=y \mbox{ o } |x|=|y|>1
\]
Provare che è connesso e a base numerabile ma non di Hausdorff
Prima cosa dovrei avere
\[
[x]=\begin{cases}
\{x\}, & |x|\le 1 \\
\{\pm x\}, & |x|>1
\end{cases}
\]
Gli aperti di $X=\mathbb{R}/\sim$ sono tutti e sole le unioni di elementi del tipo $\pi^{-1}]a,b[$, con $\pi : \mathbb{R}\to \mathbb{R}/\sim$ la proiezione canonica. Ad esempio, se $a,b>0$
\[
\pi^{-1}]a,b[=\begin{cases} ]a,b[, & ]a,b[\subseteq [-1,1]\\
]-b,-1]\cup [a,1]\cup]1,b[, & ]a,b[\cap[-1,1]=]a,1]\\
]-b,-a[\cup]a,b[, & ]a,b[\cap ]-1,1[=\emptyset
\end{cases}
\]
Per simmetria dovrei ottenere gli altri elementi della base canonica.
Finora ha tutto senso quello che ho scritto?
Grazie
Risposte
C'è qualche incongruenza, credo che nella relazione ci fosse un maggiore che è diventato un uguale, che rende falso l'esercizio.
Inoltre fai sistematicamente la retroimmagine tramite la proiezione di insiemi di numeri reali, che non ha senso, pensaci un po' meglio.
Inoltre fai sistematicamente la retroimmagine tramite la proiezione di insiemi di numeri reali, che non ha senso, pensaci un po' meglio.
Sì ho errato e invertito le cose ... 
Il punto è che le classi di equivalenza sono punti o coppie di punti simmetriche : non posso rappresentare le unioni di classi di equivalenza come intervalli?
Avendo
\[
\pi^{-1}([x])=\begin{cases}
\{x\}, & |x|\le1\\ \{\pm x\}, & |x|> 1
\end{cases}
\]
Per ottenere un aperto $]a,b[\subseteq [-1,1]$ basta fare
\[
]a,b[=\pi^{-1}(]a,b[)
\]
dove $]a,b[$ è inteso come unione di classi di equivalenza, che sono singolette.
Se ho $]a,b[$, con $a>1$ dovrei avere
\[
]a,b[=\pi^{-1}(]-b,-a[\cup ]a,b[)
\]
Se, invece, $a<1$ e $b>1$
\[
]a,b[=\pi^{-1}(]-b,-1]\cup]a,b[)
\]
Il punto è che le classi di equivalenza sono punti o coppie di punti simmetriche : non posso rappresentare le unioni di classi di equivalenza come intervalli?
Avendo
\[
\pi^{-1}([x])=\begin{cases}
\{x\}, & |x|\le1\\ \{\pm x\}, & |x|> 1
\end{cases}
\]
Per ottenere un aperto $]a,b[\subseteq [-1,1]$ basta fare
\[
]a,b[=\pi^{-1}(]a,b[)
\]
dove $]a,b[$ è inteso come unione di classi di equivalenza, che sono singolette.
Se ho $]a,b[$, con $a>1$ dovrei avere
\[
]a,b[=\pi^{-1}(]-b,-a[\cup ]a,b[)
\]
Se, invece, $a<1$ e $b>1$
\[
]a,b[=\pi^{-1}(]-b,-1]\cup]a,b[)
\]
Scusami ma mi ero completamente dimenticato di questa discussione 
scusa se rispondo solo ora, non so nemmeno se ti interessa ancora, nel caso non ti interessasse puoi semplicemente non rispondere.
No, dipende. Alcune saranno intervalli, altre no.
Mancano alcuni casi, ma quello che hai scritto è giusto, ma non capisco dove vuoi andare a parare
scusa se rispondo solo ora, non so nemmeno se ti interessa ancora, nel caso non ti interessasse puoi semplicemente non rispondere."Cantor99":
non posso rappresentare le unioni di classi di equivalenza come intervalli?
No, dipende. Alcune saranno intervalli, altre no.
Avendo
\[ \pi^{-1}([x])=\begin{cases} \{x\}, & |x|\le1\\ \{\pm x\}, & |x|> 1 \end{cases} \]
Per ottenere un aperto $ ]a,b[\subseteq [-1,1] $ basta fare
\[ ]a,b[=\pi^{-1}(]a,b[) \]
dove $ ]a,b[ $ è inteso come unione di classi di equivalenza, che sono singolette.
Se ho $ ]a,b[ $, con $ a>1 $ dovrei avere
\[ ]a,b[=\pi^{-1}(]-b,-a[\cup ]a,b[) \]
Se, invece, $ a<1 $ e $ b>1 $
\[ ]a,b[=\pi^{-1}(]-b,-1]\cup]a,b[) \]
Mancano alcuni casi, ma quello che hai scritto è giusto, ma non capisco dove vuoi andare a parare
Non vorrei essere irrispettoso; ma avete provato a fare un disegno?
[ot]Non mi sono mai piaciuti i disegni, e me lo rinfacciava sempre la mia prof.sa di topologia; ma dopo un anno passato ad insegnare matematica e fisica in un liceo artistico, un minimo di contaminazione artistica l'ho subìta.
[/ot]
[ot]Non mi sono mai piaciuti i disegni, e me lo rinfacciava sempre la mia prof.sa di topologia; ma dopo un anno passato ad insegnare matematica e fisica in un liceo artistico, un minimo di contaminazione artistica l'ho subìta.
[/ot]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo