Spazi quoziente e omeomorfismi
Ciao a tutti.
Ho qualche problema nel risolvere esercizi relativi a trovare omeomorfismi tra uno spazio quoziente ed uno spazio topologico.
Ad esempio ho il seguente esercizio:
In [tex]I $x S^{1}[/tex] ho definita la seguente relazione di equivalenza:
[tex](t,s) \sim (t',s') \Leftrightarrow \ (t,s) = (t',s') \ oppure \ t=t'=0 \ oppure \ t=t'=1[/tex]
Devo trovare l'omeomorfismo tra [tex]I $x S^{1}/ \sim[/tex] e [tex]S^{2}[/tex]. So che devo usare il teorema che mi dice che:
[tex]Sia \ p : X \rightarrow Y \ identificazione. \ Z \ spazio \ topologico.
g : Y \rightarrow Z \ è \ continua \Leftrightarrow f= g \circ p \ è\ continua.
Inoltre \ g \ è \ un \ omemorfismo \Leftrightarrow g \ è \ biettiva\ e \ f= g \circ p \ è\ una \ identificazione.[/tex]
Per questo definisco la funzione [tex]f[/tex] nel seguente modo:
[tex]f : I $x S^{1} \rightarrow S^{2}, \ f(t,s) = (\cos{\pi(t+1)}, s*\sin{\pi(t+1)})[/tex]
E' corretta la definizione della funzione sopra?In caso negativo, come dovrei ragionare per poterla definire?
Una volta che capisco come deve essere fatta quella funzione, poi devo verificare che sia una identificazione (ma questo è un problema successivo
)
Grazie a tutti in anticipo per l'aiuto!
Ho qualche problema nel risolvere esercizi relativi a trovare omeomorfismi tra uno spazio quoziente ed uno spazio topologico.
Ad esempio ho il seguente esercizio:
In [tex]I $x S^{1}[/tex] ho definita la seguente relazione di equivalenza:
[tex](t,s) \sim (t',s') \Leftrightarrow \ (t,s) = (t',s') \ oppure \ t=t'=0 \ oppure \ t=t'=1[/tex]
Devo trovare l'omeomorfismo tra [tex]I $x S^{1}/ \sim[/tex] e [tex]S^{2}[/tex]. So che devo usare il teorema che mi dice che:
[tex]Sia \ p : X \rightarrow Y \ identificazione. \ Z \ spazio \ topologico.
g : Y \rightarrow Z \ è \ continua \Leftrightarrow f= g \circ p \ è\ continua.
Inoltre \ g \ è \ un \ omemorfismo \Leftrightarrow g \ è \ biettiva\ e \ f= g \circ p \ è\ una \ identificazione.[/tex]
Per questo definisco la funzione [tex]f[/tex] nel seguente modo:
[tex]f : I $x S^{1} \rightarrow S^{2}, \ f(t,s) = (\cos{\pi(t+1)}, s*\sin{\pi(t+1)})[/tex]
E' corretta la definizione della funzione sopra?In caso negativo, come dovrei ragionare per poterla definire?
Una volta che capisco come deve essere fatta quella funzione, poi devo verificare che sia una identificazione (ma questo è un problema successivo
)Grazie a tutti in anticipo per l'aiuto!
Risposte
Come sempre in questi esercizi, devi provare a visualizzare cosa stai facendo. Non sempre è possibile, ma molte volte se ci si riesce, si ha concluso.
In questo caso hai un cilindro in cui collassi le circonferenze estreme a due punti. Ottieni quindi una sfera. L'identificazione più naturale è esprimere la sfera in coordinate cilindriche: [tex]f(t,s) = (\sin(\pi t) \cos(s), \sin(\pi t) \sin(s),\cos(\pi t))[/tex]. Questa funzione la puoi pensare definita sul cilindro ed è palesemente continua. Siccome passa al quoziente, la proprietà universale della topologia quoziente (quella che hai citato), fa sì che pensando questa funzione definita su [tex]I \times \mathcal S^1 / \sim[/tex] sia ancora continua.
Siccome la funzione è definita su un compatto e ha valori in uno spazio T2, allora è chiusa. La suriettività è banale; quindi abbiamo una mappa quoziente (o identificazione che dir si voglia). Rimane l'iniettività, che di nuovo si riduce ad un mucchietto di conti.
Prova a completare i dettagli, se incontrassi delle difficoltà fammi sapere!
P.S. Quella che proponi tu, così come è scritta, è certamente sbagliata: devi dare almeno tre componenti per descrivere [tex]\mathcal S^2[/tex]!
In questo caso hai un cilindro in cui collassi le circonferenze estreme a due punti. Ottieni quindi una sfera. L'identificazione più naturale è esprimere la sfera in coordinate cilindriche: [tex]f(t,s) = (\sin(\pi t) \cos(s), \sin(\pi t) \sin(s),\cos(\pi t))[/tex]. Questa funzione la puoi pensare definita sul cilindro ed è palesemente continua. Siccome passa al quoziente, la proprietà universale della topologia quoziente (quella che hai citato), fa sì che pensando questa funzione definita su [tex]I \times \mathcal S^1 / \sim[/tex] sia ancora continua.
Siccome la funzione è definita su un compatto e ha valori in uno spazio T2, allora è chiusa. La suriettività è banale; quindi abbiamo una mappa quoziente (o identificazione che dir si voglia). Rimane l'iniettività, che di nuovo si riduce ad un mucchietto di conti.
Prova a completare i dettagli, se incontrassi delle difficoltà fammi sapere!
P.S. Quella che proponi tu, così come è scritta, è certamente sbagliata: devi dare almeno tre componenti per descrivere [tex]\mathcal S^2[/tex]!
Grazie mille per la risposta! ora provo a completare l'esercizio con i tuoi suggerimenti.
un'ultima domanda sulla funzione [tex]f[/tex]: se avessi scritto [tex]f : I $x S^{1} \rightarrow S^{2}, \ f(t,s) = (\cos{\pi(t+1)}, \cos(2 \pi s) \sin{\pi(t+1)}, \sin(2 \pi s))[/tex] sarebbe stata corretta oppure anche in questo caso avrei sbagliato?
il fatto è che nonostante fosse chiara l'identificazione che mandava il cilindro nella sfera, non avrei mai pensato ad utilizzare le coordinate cilindriche per esprimere la sfera :S ... Ho piuttosto provato a scrivere una funzione che mandasse le due circonferenze in x=0 e x=1 rispettivamente nei punti (-1,0,0) e (1,0,0), ma non sono certa di aver ragionato in modo corretto...
un'ultima domanda sulla funzione [tex]f[/tex]: se avessi scritto [tex]f : I $x S^{1} \rightarrow S^{2}, \ f(t,s) = (\cos{\pi(t+1)}, \cos(2 \pi s) \sin{\pi(t+1)}, \sin(2 \pi s))[/tex] sarebbe stata corretta oppure anche in questo caso avrei sbagliato?
il fatto è che nonostante fosse chiara l'identificazione che mandava il cilindro nella sfera, non avrei mai pensato ad utilizzare le coordinate cilindriche per esprimere la sfera :S ... Ho piuttosto provato a scrivere una funzione che mandasse le due circonferenze in x=0 e x=1 rispettivamente nei punti (-1,0,0) e (1,0,0), ma non sono certa di aver ragionato in modo corretto...
Perché non avresti pensato alle coordinate cilindriche? Sono la cosa più naturale a cui viene da pensare!
Comunque, non va bene neanche quel tentativo. Basta osservare che [tex]\|f(t,s)\| \ne 1[/tex] in generale!
La soluzione più facile è immaginarsi la sfera inscritta nel cilindro e proiettare ogni punto del cilindro sulla superficie sferica utilizzando la retta parallela al piano x,y e ortogonale all'asse z, passante per il punto considerato.
Se fai due conti, ti accorgerai che le formule che saltano fuori sono precisamente quelle che ho dato io, ossia l'espressione della sfera in coordinate cilindriche.[/img]
Comunque, non va bene neanche quel tentativo. Basta osservare che [tex]\|f(t,s)\| \ne 1[/tex] in generale!
La soluzione più facile è immaginarsi la sfera inscritta nel cilindro e proiettare ogni punto del cilindro sulla superficie sferica utilizzando la retta parallela al piano x,y e ortogonale all'asse z, passante per il punto considerato.
Se fai due conti, ti accorgerai che le formule che saltano fuori sono precisamente quelle che ho dato io, ossia l'espressione della sfera in coordinate cilindriche.[/img]
ok, seguendo le tue istruzioni sono "quasi" riuscita ad ottenere la funzione che suggerivi. l'unica differenza è che nella mia espressione ho [tex]\cos(2 \pi s)[/tex] e [tex]\sin(2 \pi s)[/tex] piuttosto che [tex]\cos(s)[/tex] e [tex]\sin(s)[/tex] ... spero di non aver sbagliato di nuovo.... :S
una volta ottenuta la funzione [tex]f[/tex], dovrei dimostrare che essa è una identificazione e quindi che:
1) [tex]U\ è\ aperto\ in\ S^2 \Leftrightarrow f^{-1}(U)\ è\ aperto\ in\ I $x S^{1}[/tex]
o equivalentemente che:
2) [tex]U\ è\ aperto\ in\ S^2 se f^{-1}(U)\ è\ aperto\ saturo\ in\ I $x S^{1}[/tex]
A questo punto sia che io scelga la prima strada sia che scelga la seconda, dovrei prendere un generico aperto della sfera e far vedere che la sua preimmagine è un aperto (saturo) del cilindro.
Ora, so bene che gli aperti della sfera (in quanto sottospazio di [tex]R^3[/tex]) sono dati dall'intersezione di un aperto di [tex]R^3[/tex] (sia esso un'altra sfera o un cubo/parallelepipedo) con la sfera stessa, ma come faccio a scrivere esplicitamente questi insiemi aperti? se non riesco a scriverli poi non sono in grado di poter capire quale è la loro preimmagine e quindi a verificare se è o no un aperto del cilindro...
una volta ottenuta la funzione [tex]f[/tex], dovrei dimostrare che essa è una identificazione e quindi che:
1) [tex]U\ è\ aperto\ in\ S^2 \Leftrightarrow f^{-1}(U)\ è\ aperto\ in\ I $x S^{1}[/tex]
o equivalentemente che:
2) [tex]U\ è\ aperto\ in\ S^2 se f^{-1}(U)\ è\ aperto\ saturo\ in\ I $x S^{1}[/tex]
A questo punto sia che io scelga la prima strada sia che scelga la seconda, dovrei prendere un generico aperto della sfera e far vedere che la sua preimmagine è un aperto (saturo) del cilindro.
Ora, so bene che gli aperti della sfera (in quanto sottospazio di [tex]R^3[/tex]) sono dati dall'intersezione di un aperto di [tex]R^3[/tex] (sia esso un'altra sfera o un cubo/parallelepipedo) con la sfera stessa, ma come faccio a scrivere esplicitamente questi insiemi aperti? se non riesco a scriverli poi non sono in grado di poter capire quale è la loro preimmagine e quindi a verificare se è o no un aperto del cilindro...
Ho già delineato la strada. In particolare, il procedimento che vuoi seguire tu è ben più complicato di quello che ho proposto io: utilizza il teorema che hai citato nel primo post (la proprietà universale) per mostrare che la mappa considerata è continua.
Siccome la nostra mappa è definita su un compatto (un quoziente del cilindro) ed ha valori in uno spazio di Hausdorff (la sfera) allora è una mappa chiusa. La suriettività è ovvia per come è stata ottenuta. Pertanto abbiamo un'identificazione. L'iniettività direi che si può trattare a mano con i conti.
Siccome la nostra mappa è definita su un compatto (un quoziente del cilindro) ed ha valori in uno spazio di Hausdorff (la sfera) allora è una mappa chiusa. La suriettività è ovvia per come è stata ottenuta. Pertanto abbiamo un'identificazione. L'iniettività direi che si può trattare a mano con i conti.
In questo caso, quindi, non mi conveniva mostrare le proprietà della funzione [tex]f=g \circ p[/tex] ma piuttosto mostrare direttamente che g è un omeomorfismo facendo vedere le proprietà (mappa continua, chiusa e biettiva). E' esatto?
Se invece avessi avuto un esercizio del genere:
Sia [tex]Z = R^2/ p[/tex] dove
[tex](x_1,y_1) \sim (x_2, y_2) \Leftrightarrow x_1 = x_2, y_1 = y_2 + c , c \in Z[/tex]
Descrivere un omeomorfismo di [tex]Z[/tex] su [tex][0,1) $x S^1[/tex].
(Suggerimento:
Dedurre l'omeomorfismo dalla composizione di una identificazione [tex]R^2 \rightarrow [0,+\inf) $x S^1[/tex]
con un omeomorfismo
[tex][0,\inf)$x S^1 \rightarrow [0,1) $x S^1[/tex])
Come avrei dovuto ragionare per trovare la funzione dell'omeomorfismo? Ho tutto [tex]R^2[/tex] che va in un cilindro, ma eccetto questo non riesco a "vedere" come posso trasformare i punti di [tex]R^2[/tex] nei punti di quel cilindro... qualche suggerimento?
Sia [tex]Z = R^2/ p[/tex] dove
[tex](x_1,y_1) \sim (x_2, y_2) \Leftrightarrow x_1 = x_2, y_1 = y_2 + c , c \in Z[/tex]
Descrivere un omeomorfismo di [tex]Z[/tex] su [tex][0,1) $x S^1[/tex].
(Suggerimento:
Dedurre l'omeomorfismo dalla composizione di una identificazione [tex]R^2 \rightarrow [0,+\inf) $x S^1[/tex]
con un omeomorfismo
[tex][0,\inf)$x S^1 \rightarrow [0,1) $x S^1[/tex])
Come avrei dovuto ragionare per trovare la funzione dell'omeomorfismo? Ho tutto [tex]R^2[/tex] che va in un cilindro, ma eccetto questo non riesco a "vedere" come posso trasformare i punti di [tex]R^2[/tex] nei punti di quel cilindro... qualche suggerimento?
Beh, io manderei [tex](x,y)[/tex] in [tex](\cos(2\pi y), \sin(2 \pi y), x)[/tex], ma così facendo abbiamo un'identificazione con [tex]\mathbb R \times \mathcal S^1[/tex], non già con [tex][0,+\infty) \times \mathcal S^1[/tex]... non è che magari nella consegna c'è anche scritto che la prima componente è presa positiva?
scusa... mi sono accorta di un errore nel testo... la relazione di equivalenza corretta è la seguente:
[tex](x_1,y_1) \sim (x_2, y_2) \Leftrightarrow x_1 = \pm x_2, y_1 = y_2 + c , c \in Z[/tex]
[tex](x_1,y_1) \sim (x_2, y_2) \Leftrightarrow x_1 = \pm x_2, y_1 = y_2 + c , c \in Z[/tex]
Ah, ok! Così va meglio! Possiamo allora mandare [tex](x,y)[/tex] in [tex](\cos(2\pi y), \sin(2\pi y), |x|)[/tex]: è continua e suriettiva. Inoltre passa tranquillamente al quoziente. Bisogna far vedere che è un'identificazione e quindi che è una funzione aperta (o chiusa)...
bene! questa volta almeno avevo definito più o meno la tua stessa funzione! (anche se la mia è [tex](|x|,\cos(2 \pi y), \sin(2 \pi y))[/tex] ora però devo verificare se questa funzione è aperta / chiusa oppure no.
Ovviamente la strada che abbiamo seguito nell'esercizio precedente non va bene (il mio cilindro non è più compatto). L'unica idea che mi viene in mente è verificare che aperti sul cilindro provengono da aperti saturi. ora, secondo te, mi conviene cercare di capire quali siano gli aperti di [tex]R $x S^1[/tex] e calcolarne la saturazione oppure prendere un aperto del cilindro e vedere se la sua preimmagine è un aperto saturo?
ora però devo verificare se questa funzione è aperta / chiusa oppure no. Ovviamente la strada che abbiamo seguito nell'esercizio precedente non va bene (il mio cilindro non è più compatto). L'unica idea che mi viene in mente è verificare che aperti sul cilindro provengono da aperti saturi. ora, secondo te, mi conviene cercare di capire quali siano gli aperti di [tex]R $x S^1[/tex] e calcolarne la saturazione oppure prendere un aperto del cilindro e vedere se la sua preimmagine è un aperto saturo?
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