Spazi omeomorfi e connessione
Ciao a tutti ragazzi!
Dando un'occhiata agli esercizi di qualche tempo fa ho trovato il seguente:
Dimostrare che (0,1), (0,1], [0,1] non sono omeomorfi.
Si tratta di un esercizio assegnato durante l'introduzione agli spazi connessi, quindi facciamo finta di conoscere nulla della topologia indicativamente dalla nozione di compatezza in avanti : - ).
La soluzione che avevo trovato era del tipo (posto una delle tre verifiche, che è esemplare):
(0,1) non è omeomorfo a (0,1] in quanto [tex](0,1)/ \{x_0\}[/tex], [tex] x_0 \in (0,1)[/tex], non è connesso mentre [tex](0,1) = (0,1]/\{1\}[/tex] lo è.
E questo rifacendomi ad un teoremino/corollario di cui non conosco la forma precisa che suoni più o meno come:
"dati due spazi omeomorfi, rimuovendo un punto da ognuno, gli insiemi 'punturati' risultanti sono ancora omeomorfi"
Il problema è che la cosa deve per forza non essere ragionevole
, altrimente sarebbe possibile dimostrare qualcosa del tipo " [0,1] non è omeomorfo a [0,1]" ( punturo il primo allo 0 e (0,1] è connesso, il secondo in un qualunque punto interno in modo che l'insieme risultante non sia connesso)
Qualcuno sa darmi un enunciato preciso del teorema precedente? oppure sbaglio qualcosa?
Dando un'occhiata agli esercizi di qualche tempo fa ho trovato il seguente:
Dimostrare che (0,1), (0,1], [0,1] non sono omeomorfi.
Si tratta di un esercizio assegnato durante l'introduzione agli spazi connessi, quindi facciamo finta di conoscere nulla della topologia indicativamente dalla nozione di compatezza in avanti : - ).
La soluzione che avevo trovato era del tipo (posto una delle tre verifiche, che è esemplare):
(0,1) non è omeomorfo a (0,1] in quanto [tex](0,1)/ \{x_0\}[/tex], [tex] x_0 \in (0,1)[/tex], non è connesso mentre [tex](0,1) = (0,1]/\{1\}[/tex] lo è.
E questo rifacendomi ad un teoremino/corollario di cui non conosco la forma precisa che suoni più o meno come:
"dati due spazi omeomorfi, rimuovendo un punto da ognuno, gli insiemi 'punturati' risultanti sono ancora omeomorfi"
Il problema è che la cosa deve per forza non essere ragionevole
, altrimente sarebbe possibile dimostrare qualcosa del tipo " [0,1] non è omeomorfo a [0,1]" ( punturo il primo allo 0 e (0,1] è connesso, il secondo in un qualunque punto interno in modo che l'insieme risultante non sia connesso)Qualcuno sa darmi un enunciato preciso del teorema precedente? oppure sbaglio qualcosa?
Risposte
La forma che conosco io di questo risultato è :
''Sia \( f : X \to Y \) un omeomorfismo tra spazi topologici. Allora anche la restrizione \( f_1: X \setminus \{P\} \to Y \setminus \{f(P) \} \) è ancora un omeomorfismo.''
Penso che grazie a questo potresti anche concludere che non esiste alcun omeomorfismo tra [0, 1] e sé stesso che mandi un estremo in un punto interno ^-^.
''Sia \( f : X \to Y \) un omeomorfismo tra spazi topologici. Allora anche la restrizione \( f_1: X \setminus \{P\} \to Y \setminus \{f(P) \} \) è ancora un omeomorfismo.''
Penso che grazie a questo potresti anche concludere che non esiste alcun omeomorfismo tra [0, 1] e sé stesso che mandi un estremo in un punto interno ^-^.
devi ragionare al contrario (tanto l'omeomorfismo e' una relazione di equivalenza). Supponi che esista un omeo $f:[0,1)\to(0,1)$, allora...
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