Spazi omeomorfi

[maikkk1]

Ciao a tutti! Vorrei proporre un esercizio di topologia in cui si devono confrontare due spazi e stabilire se sono omeomorfi
$S_1 = \text{Toro} - {P}$ $S_2 = S^2-{Q_1, Q_2, Q_3}$ dove chiaramente $P, Q_i$ sono punti

I due spazi hanno lo stesso gruppo fondamentale ($ZZ\astZZ$) per cui per confutare l'esistenza di un omeomorfismo tra i due spazi (non credo proprio che siano omeomorfi) penso si debba usare una qualche proprietà come il numero di componenti connesse oppure magari hanno diversa compattificazione di Alexandrov.
Qualcuno ha idea su come procedere??

[apatriarca]

Sono certamente due spazi connessi per cui la tua prima strategia non ha molto senso e non credo che l'idea dell'esercizio sia quella di usare la compattificazione di Alexandrov. Secondo me basta prendere in considerazione 3 aperti \(U_1\), \(U_2\) e \(U_3\) disgiunti contenenti \(Q_1,\) \(Q_2\) e \(Q_3\) in \(S^2\). Se \(S_2\) e \(S_1\) fossero omeomorfi, \(S_1\) dovrebbe in particolare contenere \(3\) aperti disgiunti omeomorfi a \( U_1 \cap S_2, \) ma gli unici aperti di \(S_1\) ad essi omeomorfi sono del tipo \(U \cap S_1\) dove \( P \in U \subset T^2. \)

[maikkk1]

Sì, già.. era molto più semplice di quanto mi aspettassi.. Grazie perché è un semplicissimo criterio che però non mi sarebbe venuto in mente altrimenti