Spazi $mathbf(T)_0$ e $mathbf(T)_1$
Ciao a tutti, sono nuovo di questo forum e mi sono iscritto per comprendere meglio quanto detto in questa vecchia discussione.
In particolare mi rivolgo a Martino, e a quanto affermato:
Perdonatemi l’intromissione in questa discussione, ma non sono sicuro di aver capito bene quanto scritto.
Infatti se l’assioma T0 è equivalente ad affermare che c'è al più un punto denso nello spazio topologico, allora mi sfugge il significato di punto denso.
Stupidamente infatti lo definirei, in modo che ogni chiuso che lo contiene, coincide con l’intero spazio, (sbaglio?) ma se così fosse, possiamo considerare [tex]N[/tex] equipaggiato con la topologia:
[tex]\tau = \{\emptyset,\ \{0\},\ \{1\},\ \{0;1\}, N\}[/tex] :
esso direi che non è assolutamente T0, in quanto gli eventi diversi da 0 e 1 non sono separabili. Tuttavia non vedo punti densi - almeno per come ho inteso io tale concetto, infatti:
- per [tex]0[/tex] avrei il chiuso [tex]N-\{1\}[/tex];
- per [tex]1[/tex] avrei il chiuso [tex]N-\{0\}[/tex];
- per ogni altro [tex]p\neq 0, 1[/tex], avrei il chiuso [tex]N-\{0;1\}[/tex];
Di conseguenza mi verrebbe da concludere che ogni elemento non è un punto denso, non coincidendo la sua chiusura con tutto [tex]N[/tex], ma nonostante ciò questa topologia non è T0.
Purtroppo in letteratura non ho trovato riferimenti e ve ne sarei estremamente lieto, se mi spiegaste questo mio empasse.
Vi ringrazio.
In particolare mi rivolgo a Martino, e a quanto affermato:
"Martino":
[…]
Il più semplice esempio di spazio T0 ma non T1 è questo: [tex]X=\{1,2\}[/tex] con la topologia [tex]\tau = \{\emptyset,\ \{1\},\ \{1,2\}\}[/tex].
Se ti è utile, puoi vederla così:
Assioma di separazione T0: c'è al più un punto denso.
Assioma di separazione T1: i punti sono chiusi.
Perdonatemi l’intromissione in questa discussione, ma non sono sicuro di aver capito bene quanto scritto.
Infatti se l’assioma T0 è equivalente ad affermare che c'è al più un punto denso nello spazio topologico, allora mi sfugge il significato di punto denso.
Stupidamente infatti lo definirei, in modo che ogni chiuso che lo contiene, coincide con l’intero spazio, (sbaglio?) ma se così fosse, possiamo considerare [tex]N[/tex] equipaggiato con la topologia:
[tex]\tau = \{\emptyset,\ \{0\},\ \{1\},\ \{0;1\}, N\}[/tex] :
esso direi che non è assolutamente T0, in quanto gli eventi diversi da 0 e 1 non sono separabili. Tuttavia non vedo punti densi - almeno per come ho inteso io tale concetto, infatti:
- per [tex]0[/tex] avrei il chiuso [tex]N-\{1\}[/tex];
- per [tex]1[/tex] avrei il chiuso [tex]N-\{0\}[/tex];
- per ogni altro [tex]p\neq 0, 1[/tex], avrei il chiuso [tex]N-\{0;1\}[/tex];
Di conseguenza mi verrebbe da concludere che ogni elemento non è un punto denso, non coincidendo la sua chiusura con tutto [tex]N[/tex], ma nonostante ciò questa topologia non è T0.
Purtroppo in letteratura non ho trovato riferimenti e ve ne sarei estremamente lieto, se mi spiegaste questo mio empasse.
Vi ringrazio.
Risposte
"Martino":
[…]
Esempio: in uno spazio banale ogni sottoinsieme non vuoto è denso.
[…]
Esempio: la proprietà $T0$ per gli spazi topologici equivale alla seguente: "c'è al più un punto denso".
[…]
Esempio (se conosci la topologia di Zariski): $Spec(ZZ)$ con la topologia di Zariski ammette $(0)$ come punto denso.
Ciao, scusami se mi permetto, vorrei capre bene quanto dici.
Infatti da quello che so, vale che: la proprietà $T0$ per gli spazi topologici equivale alla seguente: "c'è al più un punto limite - o di accumulazione - rispetto ad ogni altro punto”;
Di conseguenza, se consideriamo $X=\{0,1,2,3\}$ equipaggiato con la topologia $\tau=\{\emptyset, \{0\}, \{1\}, \{0,1\}, X\}$, esso non risulta $T_0$ perché, pur non presentando alcun punto denso - punto cioè che appartiene ad ogni aperto di $\tau$ - presenta $2$ punto di accumulazione di $3$, e viceversa.
Sto commettendo un errore? E nel caso, quali sarebbero i punti densi dello spazio topologico da me citato?
Hai ragione, mi scuso, T0 implica che c'è al più un punto denso ma non è equivalente.
Ti ringrazio per la risposta, mi interessava quel passaggio, perché ho visto nelle discussioni precedenti, che usavi l’esistenzia del punto denso, per dimostrare l’assioma [tex]T_0[/tex], il che - a questo punto - non vale.
Sì hai ragione.
Mi sembra che si possa allora formulare così.
$X$ è T0 se e solo se ogni chiuso di $X$ ha al più un punto denso. In altre parole due punti hanno la stessa chiusura se e solo se sono uguali.
$X$ è T0 se e solo se ogni chiuso di $X$ ha al più un punto denso. In altre parole due punti hanno la stessa chiusura se e solo se sono uguali.
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