Spazi euclidei W e W perpendicolare e piani/rette
ho 2 domande:
1) come faccio a trovare una base di W (sottospazio) intersezione con Wpependicolare?
2) date 2 rette in forma parametrica come trovo il piano perpendicolare alle 2 rette e passante x l'origine?
grazie ho 1 esame tra qualke giorno!!
1) come faccio a trovare una base di W (sottospazio) intersezione con Wpependicolare?
2) date 2 rette in forma parametrica come trovo il piano perpendicolare alle 2 rette e passante x l'origine?
grazie ho 1 esame tra qualke giorno!!
Risposte
La perpendicolarità l'hai trovata con il normale prodotto scalare euclideo? Perché in quel caso quell'intersezione è banale (non ci sono vettori isotropi). Altrimenti devi cercare i vettori isotropi contenuti in $W$... E poi trovarne una base.
Non sapevo che in $RR^3$ ci potesse essere un piano perpendicolare a 2 rette... Immagino tu intenda parallelo... In quest'ultimo caso il piano parallelo alle due rette (che suppongo non parallele tra loro) è un piano perpendicolare alla direzione data dal prodotto vettoriale tra i due vettori direzione. Immagino tu sappia scrivere l'equazione del piano dato un vettore a lui perpendicolare. Dopo di che imponi che passi per l'origine. Se lavori invece in $RR^4$ ne possiamo riparlare.
P.S: Non prendertela ma se manca davvero qualche giorno all'esame allora a mio avviso ti conviene andare al prossimo appello.
Non sapevo che in $RR^3$ ci potesse essere un piano perpendicolare a 2 rette... Immagino tu intenda parallelo... In quest'ultimo caso il piano parallelo alle due rette (che suppongo non parallele tra loro) è un piano perpendicolare alla direzione data dal prodotto vettoriale tra i due vettori direzione. Immagino tu sappia scrivere l'equazione del piano dato un vettore a lui perpendicolare. Dopo di che imponi che passi per l'origine. Se lavori invece in $RR^4$ ne possiamo riparlare.
P.S: Non prendertela ma se manca davvero qualche giorno all'esame allora a mio avviso ti conviene andare al prossimo appello.
no no richiedeva la perpendicolarità di un piano a 2 rette.quindi non esiste? perchè ho trovato questo esercizio in 2 o 3 vecchie prove
per quanto riguarda W ho trovato Wperpendicolare con il prodotto scalare
per quanto riguarda W ho trovato Wperpendicolare con il prodotto scalare
Ti trovi in $RR^3$ allora prendi due matite e mettile una perpendicolare all'altra (o in qualsiasi modo tu preferisca basta che non siano parallele e poi prendi un foglio e prova a metterlo perpendicolare ad entrambe. Ci riesci? Gran parte del lavoro in geometria analitica consiste nel saper visualizzare mentalmente le cose, le casistiche sono riduttive anche se utili a passare il compito.
Vedila anche in questo modo. Un piano è definito come lo spazio perpendicolare ad una particolare retta (in $RR^3$). Quindi affinché il piano sia perpendicolare ad entrambe le direzioni questa direzione deve essere parallela ad entrambe (non basta che appartenga al sottospazio che generano). Quindi siccome la relazione di parallelismo è transitiva allora le due rette devono essere parallele.
Per quanto riguarda il primo ecco la dimostrazione completa. Lo spazio perpendicolare è tale che [tex]\langle \mathbf{w}, \mathbf{v}\rangle = 0[/tex] (o [tex]\mathbf{w}\cdot \mathbf{v} = 0[/tex] a seconda della tua notazione) per ogni [tex]\mathbf{w}\in W[/tex] e [tex]\mathbf{v}\in W^{\perp}[/tex].
Quindi un elemento in [tex]\mathbf{v} \in W\cap W^{\perp}[/tex] è tale che [tex]\langle \mathbf{w}, \mathbf{v}\rangle = 0[/tex] ed in particolare [tex]\langle \mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle = 0[/tex] ma sai che il prodotto vettoriale è definito positivo e quindi [tex]W\cap W^{\perp}=\{\mathbf{0}\}[/tex].
Vedila anche in questo modo. Un piano è definito come lo spazio perpendicolare ad una particolare retta (in $RR^3$). Quindi affinché il piano sia perpendicolare ad entrambe le direzioni questa direzione deve essere parallela ad entrambe (non basta che appartenga al sottospazio che generano). Quindi siccome la relazione di parallelismo è transitiva allora le due rette devono essere parallele.
Per quanto riguarda il primo ecco la dimostrazione completa. Lo spazio perpendicolare è tale che [tex]\langle \mathbf{w}, \mathbf{v}\rangle = 0[/tex] (o [tex]\mathbf{w}\cdot \mathbf{v} = 0[/tex] a seconda della tua notazione) per ogni [tex]\mathbf{w}\in W[/tex] e [tex]\mathbf{v}\in W^{\perp}[/tex].
Quindi un elemento in [tex]\mathbf{v} \in W\cap W^{\perp}[/tex] è tale che [tex]\langle \mathbf{w}, \mathbf{v}\rangle = 0[/tex] ed in particolare [tex]\langle \mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle = 0[/tex] ma sai che il prodotto vettoriale è definito positivo e quindi [tex]W\cap W^{\perp}=\{\mathbf{0}\}[/tex].
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