Spazi e sottospazi vettoriali

[Dottor P++1]

Salve ragazzi/e. E' di vitale importanza che io superi quest'esame. Causa assenza docente non posso chiedere direttamente, quindi mi appello a voi.
Il testo di uno degli esercizi recita così:

Siano dati lo spazio vettoriale $RR^3$ e i suoi sottospazi
$S={(x,y,z) : x=y,z=0}; T={(x,y,z) : z=3y-x}
Determinare $S nnn T$ e $S+t$ applicando il teorema di Grassman

Il primo passo è trovare i vettori che fanno parte di S e T..........ed è proprio qui che mi incaglio.
L'unica cosa che conosco è l'enunciato del teorema di Grassman:
$dim(S)+dim(T) = dim(S+T) + dim(S nnn T)$
se qualcuno di voi ha la pazienza di dettagliare lo svolgimento mi farebbe un grossissimo favore.

[_Tipper]

L'equazione cartesiana di $S \cap T$ si ottiene mettendo a sistema le equazioni cartesiane dei singoli spazi:

$\{(x=y),(z=0),(z = 3y - x):} = \{(x=y),(z=0),(x = 3y):} = \{(3y=y),(z=0),(x=3y):} = \{(x=0),(y=0),(z=0):}$

Da questo si nota che $S \cap T = \{O\}$, ovvero gli insiemi $S$ e $T$ sono disgiunti, pertanto $\dim(S \cap T) = 0$, e dalla relazione di Grassman si nota che

$\dim(S + T) = \dim(S) + \dim(T)$

Per calcolare la dimensione di $S$, basta porre come parametro libero $x = \alpha$, pertanto un suo generico vettore si scrive così

$((\alpha),(\alpha),(0)) = \alpha ((1),(1),(0))$

quindi $\dim(S) = 1$. Considerando $T$, ponendo come parametri liberi $x = \alpha$ e $y = \beta$, si nota che un suo generico vettore si scrive così:

$((\alpha),(\beta),(3 \beta - \alpha)) = \alpha ((1),(0),(-1)) + \beta ((0),(1),(3))$

quindi $\dim(T) = 2$, di conseguenza $\dim(S + T) = 3$.

[Camillo]

Quindi $S+T $ è una somma diretta e $ S+T =RR^3 $ .

[Dottor P++1]

Grazie mille..............domani mi butto su questa tipologia d'esercizio. Oggi a forza di applicare il metodo di Gauss a sistemi lineari per poco non lo uso anche per aprire la macchina.

[Dottor P++1]

Mi mancano queste due tipologie di esercizi:

Sia dato lo spazio vettoriale $RR^4$,munito del prodotto scalare canonico, e sia dato $S={(x,y,z,t) : y=2t, z=2x}$

[*:2rlcy3la] verificare che S è sottospazio di $RR^4$[/*:m:2rlcy3la]
[*:2rlcy3la] determinare il complemeno ortogonale di S e una sua base ortonormale[/*:m:2rlcy3la]
[*:2rlcy3la] verificare che S e il suo complemento ortogonale sono supplementari[/*:m:2rlcy3la][/list:u:2rlcy3la]

Sia dato lo spazio vettoriale $RR^3$,munito del prodotto scalare canonico, e sia dato $S={(x,y,z) : z=2sqrt2 y, x=0}$,sottospazio di $RR^3$

[*:2rlcy3la] determinare $dim(S)$[/*:m:2rlcy3la]
[*:2rlcy3la] determinare il complemeno ortogonale di S e una sua base ortonormale[/*:m:2rlcy3la][/list:u:2rlcy3la]

l'unica differenza col precedente è che chiede $dim (S)$ e non devo determinare che sono complementari

[_Tipper]

"Dottor P++":Sia dato lo spazio vettoriale $RR^4$,munito del prodotto scalare canonico, e sia dato $S={(x,y,z,t) : y=2t, z=2x}$

[*:3n676qyi] verificare che S è sottospazio di $RR^4$[/*:m:3n676qyi]
[*:3n676qyi] determinare il complemeno ortogonale di S e una sua base ortonormale[/*:m:3n676qyi]
[*:3n676qyi] verificare che S e il suo complemento ortogonale sono supplementari[/*:m:3n676qyi][/list:u:3n676qyi]

Posto $x = \alpha$, $t = \beta$, allora il generico vettore di $S$ è $((\alpha),(2 \beta),(2 \alpha),(\beta))$.

Per ogni $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2 \in \mathbb{R}$, posto $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$ e $\beta = \beta_1 + \beta_2$, risulta
$((\alpha_1),(2 \beta_1),(2 \alpha_1),(\beta_1)) + ((\alpha_2),(2 \beta_2),(2 \alpha_2),(\beta_2)) = ((\alpha),(2 \beta),(2 \alpha),(\beta))$, pertanto $S$ è chiuso rispetto alla somma. Analogamente si dimostra che è chiuso pure rispetta al prodotto, e che tali operazioni rispettano tutte le simpatiche proprietà di uno spazio vettoriale, pertanto $S$ è un sottospazio di $\mathbb{R}^4$. Il generico vettore di $S$ si può anche scrivere come

$((\alpha),(2 \beta),(2 \alpha),(\beta)) = \alpha ((1),(0),(2),(0)) + \beta ((0),(2),(0),(1))$, dunque una base di $S$ è

$B_1 = \{((1),(0),(2),(0)), ((0),(2),(0),(1))\}$

Per trovare l'equazione cartesiana del complemento ortogonale basta considerare il generico vettore di $\mathbb{R}^4$ $((x),(y),(z),(t))$ e imporre che il prodotto scalare con ogni elemento di una base di $S$ si nullo:

$\{(x + 2z = 0),(2y + t = 0):}$

A questi punto, per verificare che i due spazi sono supplementari (se ho ben capito cosa intendi con supplementari), basta considerare una base $B_2$ di $S^{\bot}$, e verificare che $B_1 \cup B_2$ sia una base di $\mathbb{R}^4$.

[_Tipper]

"Dottor P++":Sia dato lo spazio vettoriale $RR^3$,munito del prodotto scalare canonico, e sia dato $S={(x,y,z) : z=2sqrt2 y, x=0}$,sottospazio di $RR^3$

[*:31gzt57z] determinare $dim(S)$[/*:m:31gzt57z]
[*:31gzt57z] determinare il complemeno ortogonale di S e una sua base ortonormale[/*:m:31gzt57z][/list:u:31gzt57z]

Posto $y = \alpha$, il generico vettore di $S$ è $((0),(\alpha),(2 \sqrt{2} \alpha)) = \alpha ((0),(1),(2 \sqrt{2}))$ e $\dim(S) = 1$, visto che una sua base è $\{((0),(1),(2 \sqrt{2}))\}$.
Per determinare il complemento ortogonale fai come prima, trovi una base e usi il procedimento di Gram-Schmidt.