Spazi di polinomi e applicazioni lineari..
Ciao, ho sfruttato la funzione cerca trovando molte info utili, tuttavia sono ancora incerto su questo esercizio....
Sia $V$ l'insieme dei polinomi reali di grado al più 3 tali che $p(0)=0$ e $P(1)=0$. Consideriamo la funzione $A(p)=((p(1)),(p(2)),(0))$ .V é spazio vettoriale? A è lineare? rg(A)=? base del nucleo?
Siano $p,q in V$ due polinomi quindi $p(0)+q(0)=0$ e $(x_1p+x_2q)(0)=0$ facendo le medesime operazioni in $1$ ottengo sempre uno spazio chiuso rispetto alla somma e il prodotto scalare..ovvero uno spazio vettoriale.
$A:V->RR^3$ è lineare essendo $A(x_1p+x_2q)=x_1A(p)+x_2A(q)=x_1((p(1)),(p(2)),(0))+x_2((q(1)),(q(2)),(0))$
ok ora ragionando il $p(1)=0$ quindi il $rg(A)=dim(Im(A))<=1$.... rimane da capire cosa succede in $p(2)$.
Cerco un polinomio che rispetti le mie tre condizioni e lo individuo in $t^2-t=0$.... se ho fatto tutto bene ora
$A(p)=((0),(2),(0))$ quindi $rg(A)=1$..... qui inizio un attimo a perdermi e nn capisco come trovare una base del nucleo.... ad occhio credo che $V=(p in V|p(1)=0)=Ker(A)$... ma per trovarne una base cosa dovrei fare?
Sia $V$ l'insieme dei polinomi reali di grado al più 3 tali che $p(0)=0$ e $P(1)=0$. Consideriamo la funzione $A(p)=((p(1)),(p(2)),(0))$ .V é spazio vettoriale? A è lineare? rg(A)=? base del nucleo?
Siano $p,q in V$ due polinomi quindi $p(0)+q(0)=0$ e $(x_1p+x_2q)(0)=0$ facendo le medesime operazioni in $1$ ottengo sempre uno spazio chiuso rispetto alla somma e il prodotto scalare..ovvero uno spazio vettoriale.
$A:V->RR^3$ è lineare essendo $A(x_1p+x_2q)=x_1A(p)+x_2A(q)=x_1((p(1)),(p(2)),(0))+x_2((q(1)),(q(2)),(0))$
ok ora ragionando il $p(1)=0$ quindi il $rg(A)=dim(Im(A))<=1$.... rimane da capire cosa succede in $p(2)$.
Cerco un polinomio che rispetti le mie tre condizioni e lo individuo in $t^2-t=0$.... se ho fatto tutto bene ora
$A(p)=((0),(2),(0))$ quindi $rg(A)=1$..... qui inizio un attimo a perdermi e nn capisco come trovare una base del nucleo.... ad occhio credo che $V=(p in V|p(1)=0)=Ker(A)$... ma per trovarne una base cosa dovrei fare?
Risposte
Anche a me l'esercizio pare un po' oscuro, ma un passo avanti potrebbe essere questo.
Sapendo che $p(0)=0$, il polinomio appare come $(ax^2+bx+c)x$, sapendo che $p(1)=1$, deve essere $ax^2+bx+c=1$, cioè
$(dx+e)(x-1)+1=0$.
Quindi l'aspetto finale del polinomio è $((dx+e)(x-1)+1)x$, se non vado errato.
Ora $p(2)=4d+2e+2$
Detto ciò, si potrebbe anche ricavare un'espressione per il Ker, ma non sono sicuro del suo significato...
Sapendo che $p(0)=0$, il polinomio appare come $(ax^2+bx+c)x$, sapendo che $p(1)=1$, deve essere $ax^2+bx+c=1$, cioè
$(dx+e)(x-1)+1=0$.
Quindi l'aspetto finale del polinomio è $((dx+e)(x-1)+1)x$, se non vado errato.
Ora $p(2)=4d+2e+2$
Detto ciò, si potrebbe anche ricavare un'espressione per il Ker, ma non sono sicuro del suo significato...
Grazie per la risposta....ma nn credo sia il procedimento cercato dal mio proff... veramente vuoto totale.....
cavolo scusatemmmiiii correggo immediatamente volevom scrivere $p(1)=0$ cavolo che scemooooooooooo.......
"Gaber":
cavolo scusatemmmiiii correggo immediatamente volevom scrivere $p(1)=0$ cavolo che scemooooooooooo.......
Non c'é bisogno di scusarsi, succede a tutti di scrivere sbagliato.
Allora Impendo il passaggio in $alpha=-3, beta=1$ dovrei ottenere una base del kernel ottenendo $A(3t-3t^2)=((0),(-6),(0))$ e
$A(-t+t^3)=((0),(6),(0))$ infatti $A(p)=-3((0),(2),(0))+((0),(6),(0))=((0),(0),(0))$.... cosi le cose iniziano a tornarmi...... ma l'errore è nascosto sempre dietro l'angolo ç___ç
$A(-t+t^3)=((0),(6),(0))$ infatti $A(p)=-3((0),(2),(0))+((0),(6),(0))=((0),(0),(0))$.... cosi le cose iniziano a tornarmi...... ma l'errore è nascosto sempre dietro l'angolo ç___ç
Bastava che mi ricordavo che il kernel appartiene al dominio della funzione....e senza usare troppo la fantasia.... nel post precedente avevo solamente verificato che l'immagine si annulla in (-3,1) senza definire nulla di concreto.... sicuramente non una base appartenente al dominio.... Se avete esercizzi simili postateli pls.... perchè trovo solo esercizzi che mi chiedono di definire una applicazione rispetto ad una base data.... ma la ricerca di una base sonda di più le conoscenze ed è di questo che avrei bisogno 
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