Spazi di dimensione finita isomorfi

[mastofra_te]

Buonasera ragazzi,

nel programma orale il prof . chiede di dimostrare che gli spazi di dimensione finita n sono tra loro isomorfi.
Qualcuno puo' aiutarmi a verificarlo.
Io so che due spazi sono isomorfi quando esiste un isomorfismo ovvero un applicazione lineare invertibile tra i due ,
ma quindi se ho V e W come spazi allora deve essere dimV = dimW.
Ho l'esame tra poco


Grazie in anticipo !!!

[Silente]

Isomorfismo = Applicazione lineare iniettiva e suriettiva.
Iniettività - Indipendenza lineare.
Suriettività - Generatori.

Un base è per definizione un insieme di vettori linearmente indipendenti e generatori di un sottospazio.

[vict85]

Devo ammettere che sono passati anni da quando ho fatto l'esame quindi il professore potrebbe aver proposto una dimostrazione differente. Quindi vado un po' di creatività.

Dati \(\displaystyle n \) vettori linearmente indipendenti \(\{\mathbf{w}_i\}\) in \(W\) (\(n\) qualsiasi) allora per ogni \(\displaystyle \{\mathbf{v}_i\} \) tale che \(\displaystyle f\mathbf{v}_i = \mathbf{w}_i \) allora l'insieme \(\{\mathbf{v}_i\}\) è linearmente indipendente. La dimostrazione la lascio a te (prova a supporre il contrario e usare la definizione di applicazione lineare).

A questo punto data una base \(\{\mathbf{b}_i\}\) di \(\displaystyle V \) ho che l'insieme \(\displaystyle f\{\mathbf{b}_i\} \) è tale che \(\displaystyle f^{-1}f\mathbf{b}_i = \mathbf{b}_i \) e quindi \(\displaystyle f\{\mathbf{b}_i\} \) è linearmente indipendente. Quindi \(\displaystyle \dim W \ge \dim V \).

Usando lo stesso giochetto per una base \(\{\mathbf{e}_i\}\) di \(\displaystyle W \) ricavo che \(\displaystyle \dim V \ge \dim W \) e quindi l'uguaglianza.