Spazi affini e spazi vettoriali
Buonasera! 
Stavo iniziando a studiare gli spazi affini quando ho cominciato ad avere un dubbio: dato un generico spazio vettoriale su un generico campo, è sempre possibile costruirci uno spazio affine? Oppure ci sono spazi vettoriali che non ammettono spazi affini? In breve, l'esistenza di uno spazio affine è indipendente dallo spazio vettoriale su cui esso è costruito?
Vi ringrazio in anticipo!
Stavo iniziando a studiare gli spazi affini quando ho cominciato ad avere un dubbio: dato un generico spazio vettoriale su un generico campo, è sempre possibile costruirci uno spazio affine? Oppure ci sono spazi vettoriali che non ammettono spazi affini? In breve, l'esistenza di uno spazio affine è indipendente dallo spazio vettoriale su cui esso è costruito?
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Se consideriamo la classe dei vettori applicati nello spazio ordinario, ogni punto dello spazio è in corrispondenza biunivoca con i vettori, quindi ....
Buona sera
Le chiedo scusa per essere stato troppo breve nella mia precedente risposta. Credo sia utile invito alla riflessione.
Ma per essere più precisi...
Sia V uno spazio vettoriale su un corpo commutativo.
La applicazione (funzione) che per ogni coppia di vettori ne restituisce la differenza struttura lo stesso V a spazio affine su V stesso.
Tale struttura è detta dai matematici struttura affine canonica.
Nel caso poi più particolareggiato di V= $ R^n $ lo spazio affine è detto comunemente spazio affine numerico.
Mi scuso di nuovo per prima.
Spero di essere stato utile
Cordiali saluti
Le chiedo scusa per essere stato troppo breve nella mia precedente risposta. Credo sia utile invito alla riflessione.
Ma per essere più precisi...
Sia V uno spazio vettoriale su un corpo commutativo.
La applicazione (funzione) che per ogni coppia di vettori ne restituisce la differenza struttura lo stesso V a spazio affine su V stesso.
Tale struttura è detta dai matematici struttura affine canonica.
Nel caso poi più particolareggiato di V= $ R^n $ lo spazio affine è detto comunemente spazio affine numerico.
Mi scuso di nuovo per prima.
Spero di essere stato utile
Cordiali saluti
Salve!
Si senta libero di darmi del tu!
Rinnovo i ringraziamenti già anticipati nel primo post: grazie della risposta!
Era ciò di cui avevo bisogno, quindi non mi sento di aggiungere altro, se non che devo studiare l'argomento in modo più approfondito per evitare altri dubbi di questo tipo!
In ogni caso non è necessario scusarsi di nulla!
Buona serata
Si senta libero di darmi del tu!
Rinnovo i ringraziamenti già anticipati nel primo post: grazie della risposta!
Era ciò di cui avevo bisogno, quindi non mi sento di aggiungere altro, se non che devo studiare l'argomento in modo più approfondito per evitare altri dubbi di questo tipo!
In ogni caso non è necessario scusarsi di nulla!
Buona serata
$ A=((a_1,b_1),(c_1,d_1)) , B=((a_2,b_2),(c_2,d_2)) $Anche se ti hanno già risposto, rispondo ugualmente.
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$. Qualsiasi sia $V$ , si può dotare $V$ di struttura di spazio affine in questa maniera.
Consideriamo
$s : V \times V \in V$ tale che $AA A,B \in V , s(A,B)=B-A=v \in V$.
Si ha che con tale struttura , cioè $s$ , $V$ mi diventa uno spazio affine. Infatti :
Verifichiamo che $AA A,v \in V EE ! B \in V t.c s(A,B)=v$.
Esistenza :
Basta porre $B=A+v$ , si ha $s(A,B)=B-A=A+v-A=v$.
Unicità :
Se $B,B' \in V$ tali che $s(A,B)=v=s(A,B') => B-A=B'-A => B=B'$.
Inoltre dati $A,B,C$ tre punti di $V$ si ha che $s(A,B)+s(B,C)=B-A+C-B=-A+C=C-A=s(A,C)$.
Pertanto $s$ è effettivamente una struttura di spazio affine su $V$.
Noterai di certo, che la dimensione di $V$ non gioca. Quindi, in linea di principio, sei autorizzato a munire qualsiasi spazio vettoriale di struttura di spazio affine mediante quella struttura canonica.
Esempio :
Piglia $V=M_2(RR)$
Se $A=((a_1,b_1),(c_1,d_1)) , B=((a_2,b_2),(c_2,d_2))$
$s(A,B)=B-A=((a_2-a_1,b_2-b_1),(c_2-c_1,d_2-d_1))$
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$. Qualsiasi sia $V$ , si può dotare $V$ di struttura di spazio affine in questa maniera.
Consideriamo
$s : V \times V \in V$ tale che $AA A,B \in V , s(A,B)=B-A=v \in V$.
Si ha che con tale struttura , cioè $s$ , $V$ mi diventa uno spazio affine. Infatti :
Verifichiamo che $AA A,v \in V EE ! B \in V t.c s(A,B)=v$.
Esistenza :
Basta porre $B=A+v$ , si ha $s(A,B)=B-A=A+v-A=v$.
Unicità :
Se $B,B' \in V$ tali che $s(A,B)=v=s(A,B') => B-A=B'-A => B=B'$.
Inoltre dati $A,B,C$ tre punti di $V$ si ha che $s(A,B)+s(B,C)=B-A+C-B=-A+C=C-A=s(A,C)$.
Pertanto $s$ è effettivamente una struttura di spazio affine su $V$.
Noterai di certo, che la dimensione di $V$ non gioca. Quindi, in linea di principio, sei autorizzato a munire qualsiasi spazio vettoriale di struttura di spazio affine mediante quella struttura canonica.
Esempio :
Piglia $V=M_2(RR)$
Se $A=((a_1,b_1),(c_1,d_1)) , B=((a_2,b_2),(c_2,d_2))$
$s(A,B)=B-A=((a_2-a_1,b_2-b_1),(c_2-c_1,d_2-d_1))$
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