Spazi affini
Buongiorno a tutti gli utenti del forum!
Siano $P_1,P_2,$...$,P_(n+1)$ punti in posizione generale nello spazio affine $A$ di dimensione $n$... Sia poi $F$ un affinità di $A$ in se stesso che manda i punti in $F(P_1),F(P_2),$...$,F(P_(n+1))$ i quali, a loro volta, sono in posizione generale. Quindi $F$ è ben definita.
Come si scrive la matrice dell'affinità?
Guardando esercizi già svolti mi sembra di capire che ci si comporta diversamente a seconda dei casi... Voglio dire, se l'affinità è una traslazione si opera in una maniera, altrimenti (se si parla, ad esempio, di simmetrie...) la tecnica varia... E' così???
Siano $P_1,P_2,$...$,P_(n+1)$ punti in posizione generale nello spazio affine $A$ di dimensione $n$... Sia poi $F$ un affinità di $A$ in se stesso che manda i punti in $F(P_1),F(P_2),$...$,F(P_(n+1))$ i quali, a loro volta, sono in posizione generale. Quindi $F$ è ben definita.
Come si scrive la matrice dell'affinità?
Guardando esercizi già svolti mi sembra di capire che ci si comporta diversamente a seconda dei casi... Voglio dire, se l'affinità è una traslazione si opera in una maniera, altrimenti (se si parla, ad esempio, di simmetrie...) la tecnica varia... E' così???
Risposte
prima di tutto, in che riferimento intendi scrivere l'affinità?
In generale se hai il riferimento $Q_0 , ... , Q_n$ la matrice dell'affinita è del tipo
$C=((1,0),(\v,A))
dove v è il vettore ottenuto da $F(Q_0)-Q_0$ dove $Q_0$ è il primo punto del riferimento e $\A$ è la matrice dell'applicazione lineare associata che si ottiene nel riferimento scelto considerando che $\phi(Q_i-Q_0)=F(Q_i)-F(Q_0)$.
In pratica per ottenere la matrice associata a $\phi$ devi considerarla rispetto la base (di vettori) ${Q_1-Q_0, ... , Q_n-Q_0}$; le loro immagini rispetto $\phi$ le trovi con la relazione sopra.
spero di essere stato chiaro.
In generale se hai il riferimento $Q_0 , ... , Q_n$ la matrice dell'affinita è del tipo
$C=((1,0),(\v,A))
dove v è il vettore ottenuto da $F(Q_0)-Q_0$ dove $Q_0$ è il primo punto del riferimento e $\A$ è la matrice dell'applicazione lineare associata che si ottiene nel riferimento scelto considerando che $\phi(Q_i-Q_0)=F(Q_i)-F(Q_0)$.
In pratica per ottenere la matrice associata a $\phi$ devi considerarla rispetto la base (di vettori) ${Q_1-Q_0, ... , Q_n-Q_0}$; le loro immagini rispetto $\phi$ le trovi con la relazione sopra.
spero di essere stato chiaro.
Chiarissimo! Grazie 1000! Anzi, grazie $1000!$ (millefattoriale!)
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