Spazi a base numerabile
Devo risolvere il seguente quesito. Metto le mani avanti dicendo che alcune ipotesi possono essere superflue visto che l'esercizio proseguiva con altre richieste.
Sia $X$ un $G-spazio$ con $G$ gruppo finito che agisce liberamente su $X$. Dimostrare che $X$ ammette una base numerabile se e solo se $X/G$ l'ammette.
Quello che ho provato a fare è sfruttare la proiezione $p$ da $X$ a $X/G$.
Detta $\{A_i\}$ una base numerabile di $X$, si ha $X/G=p(X)=p(uu A_i)$. Se sapessi che $p(uu A_i)=uup(A_i)$ sarei a posto perchè $p$ è aperta ma ho il dubbio che non sia vero per le unioni di infiniti insiemi.
Detta poi $\{B_k\}$ una base numerabile di $X/G$, si ha $X=p^{-1}(X/G)=p^{-1}(uu B_k)$ e di nuovo non so se $p^{-1}(uu B_k)=uu p^{-1}(B_k)$.
Devo anche dimostrare che se $X/G$ è Hausdorff, lo è anche $X$. Vi faccio una domanda stupidina
: sapreste dimostrarlo senza usare il fatto che $p$ è un rivestimento? Me lo chiedo perchè nel libro l'esercizio è proposto prima di parlare di rivestimenti.
Non ho altre idee quindi mi rimetto a voi, grazie!
Sia $X$ un $G-spazio$ con $G$ gruppo finito che agisce liberamente su $X$. Dimostrare che $X$ ammette una base numerabile se e solo se $X/G$ l'ammette.
Quello che ho provato a fare è sfruttare la proiezione $p$ da $X$ a $X/G$.
Detta $\{A_i\}$ una base numerabile di $X$, si ha $X/G=p(X)=p(uu A_i)$. Se sapessi che $p(uu A_i)=uup(A_i)$ sarei a posto perchè $p$ è aperta ma ho il dubbio che non sia vero per le unioni di infiniti insiemi.
Detta poi $\{B_k\}$ una base numerabile di $X/G$, si ha $X=p^{-1}(X/G)=p^{-1}(uu B_k)$ e di nuovo non so se $p^{-1}(uu B_k)=uu p^{-1}(B_k)$.
Devo anche dimostrare che se $X/G$ è Hausdorff, lo è anche $X$. Vi faccio una domanda stupidina
: sapreste dimostrarlo senza usare il fatto che $p$ è un rivestimento? Me lo chiedo perchè nel libro l'esercizio è proposto prima di parlare di rivestimenti.Non ho altre idee quindi mi rimetto a voi, grazie!
Risposte
Che intendi per gruppo che agisce liberamente un insieme?
Il gruppo agisce su $x \in X$ in modo che $g x \ne x$ $\forall g in \G, g \ne e_G$.
"GreenLink":
... Se sapessi che $p(uu A_i)=uup(A_i)$ sarei a posto perchè $p$ è aperta ma ho il dubbio che non sia vero per le unioni di infiniti insiemi...
"GreenLink":
... e di nuovo non so se $p^{-1}(uu B_k)=uu p^{-1}(B_k)$.
Puoi dare un'occhiata ai link di Wiki (copia per intero il primo link nella barra dell'indirizzo)
http://it.wikipedia.org/wiki/Immagine_(matematica)#Propriet.C3.A0
http://it.wikipedia.org/wiki/Controimma ... riet.C3.A0.
In generale, se $f:X\to Y$ è una funzione qualsiasi (nessuna ipotesi su $f$), come sono fatti $f(\bigcup_i A_i)$ o $f^{-1}(\bigcup_i B_i)$?
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