Span(v1,...,vn) sottospazio vettoriale

[shiva28]

Buongiorno,
Ho un problema con la seguente dimostrazione.

Sia $V$ uno spazio vettoriale e $vec(v_{1}), vec(v_{2}), ... , vec(v_{n})$ vettori di $V$.
Definire l'insieme $Span(vec(v_{1}), vec(v_{2}), ... , vec(v_{n}))$ e dimostrare che è un sottospazio di $V$.


Nel testo non è data la dimensione di $V$, quindi in teoria non potrei dire se lo span appartiene o no a $V$, giusto?


Prima di tutto, è corretta la mia definizione?
$Span(vec(v_{1}), vec(v_{2}), ldots , vec(v_{n}))={vec(v) in V | vec(v)=alpha_{1}vec(v_{1})+alpha_{2}vec(v_{2}) +...+alpha_{n}vec(v_{n}) \quad ,\quad alpha_{i}in mathbb(R) \quad , vec(v_{i}) in V ,\quad i=1,..,n \quad }$


Ed è qui che mi blocco.. come dovrei procedere per dimostrare che è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare?

Saluti

[Sk_Anonymous]

"Polar28":Nel testo non è data la dimensione di $ V $, quindi in teoria non potrei dire se lo span appartiene o no a $ V $, giusto?

Siccome $V$ è uno spazio vettoriale e siccome $W=Span(vec(v_{1}), vec(v_{2}), ... , vec(v_{n}))$ è l'insieme delle combinazioni lineari di vettori $vec(v_{i}) in V$, allora si può affermare che $W sube V$ (non che $W in V$ o $W notin V$).

Chiusura rispetto alla somma tra vettori.

Siano $vec(w_1),vec(w_2) in W$; bisogna far vedere che $vec(w_1)+vec(w_2) in W$.

$vec(w_1),vec(w_2) in W Rightarrow {(vec(w_1)=sum_{i=1}^n a_ivec(v_i)), (vec(w_2)=sum_{i=1}^n b_ivec(v_i)):}$

Quindi:

$vec(w_1)+vec(w_2)=sum_{i=1}^n (a_i+b_i)vec(v_i) in W$

Chiusura rispetto alla moltiplicazione scalare-vettore.

Supponiamo che lo spazio vettoriale $V$ sia definito su un campo $K$.

Sia $k in K$ e $vecw in W$; bisogna far vedere che $kvecw in W$.

Si ha.

$vecw in W Rightarrow vecw=sum_{i=1}^n a_ivec(v_i) Rightarrow kvecw=sum_{i=1}^n (ka_i)vec(v_i) in W$.

Spero di essere stato chiaro.

Saluti.

[shiva28]

Grazie alessandro8!

Sei stato chiarissimo

[Sk_Anonymous]

Ne sono lieto.

Saluti.