Span, Mappe lineari e Matrici
Salve, ho un esercizio e gradirei aiuto per provare a risolverlo
Ecco l'esercizio in questione con i punti richiesti:
Consideriamo
$S := {((k,-2,0)), ((-1,k,-2)), ((1,-1,2k))}$
(non sono riuscito a scriverlo in questo modo https://imgur.com/Ek2XJhr)
- determinare $dim(Span(S))$ al variare di $k$
- determinare per quali $k$ vale $v=(1,1,0) in Span(S)$
- per $k=-1$ scrivere $f(x,y,z)$ dove $f:RR^3->RR^3$ è l'unica applicazione lineare tale che il primo, il secondo, e terzo vettore di S vengono mandati rispettivamente nei vettori della base canonica $e_1, e_2, e_3$
Per il primo punto, so soltanto che
$Span(v_1, v_2, ... , v_n):={a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n$ con $a_1, a_2, ... , a_n in K}$
e che la dimensione di uno spazio vettoriale è la cardinalità di una sua base qualsiasi.
Basta questo per risolvere il primo punto? O per caso serve anche il concetto di rango di una matrice, che ancora non ho capito cos'è esattamente? E' semplicemente il numero di righe non nulle nella matrice? aka. devo ridurre la matrice a scala con Gauss e vedere quante righe non sono 0 in base a k? Oppure è il numero di righe/colonne (quale delle due?) linearmente indipendenti? Oppure è altro ancora? Oppure le due definizioni sono equivalenti (se sì, non capisco il collegamento)?
Nel provare a risolvere il primo punto ho provato a ridurre a scala la matrice con Gauss, per poi vedere quali sono le righe non nulle, e avrei considerato quello come rango, e quindi come Span(S) (di nuovo, se rango=Span, non capisco il perché) se vogliamo dare quello che mi dice ChatGPT come buono, e ho dei dubbi, ma chissà
Se così fosse, potreste aiutarmi a trattare k con la matrice ridotta a scala (che dovrebbe essere corretta...spero)? I parametri mi hanno sempre causato difficoltà
Matrice ridotta a scala:
$((k,-1,1),(0, (k^2-2)/k, (-k+2)/k),(0,0,(2k^2*(k-1))/(k*(k^2-2))))$
Spero di essere riuscito a trasmettere la mia confusione su questa roba
Grazie in anticipo a chiunque vorrà cercare di farmi capire queste cose
Ecco l'esercizio in questione con i punti richiesti:
Consideriamo
$S := {((k,-2,0)), ((-1,k,-2)), ((1,-1,2k))}$
(non sono riuscito a scriverlo in questo modo https://imgur.com/Ek2XJhr)
- determinare $dim(Span(S))$ al variare di $k$
- determinare per quali $k$ vale $v=(1,1,0) in Span(S)$
- per $k=-1$ scrivere $f(x,y,z)$ dove $f:RR^3->RR^3$ è l'unica applicazione lineare tale che il primo, il secondo, e terzo vettore di S vengono mandati rispettivamente nei vettori della base canonica $e_1, e_2, e_3$
Per il primo punto, so soltanto che
$Span(v_1, v_2, ... , v_n):={a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n$ con $a_1, a_2, ... , a_n in K}$
e che la dimensione di uno spazio vettoriale è la cardinalità di una sua base qualsiasi.
Basta questo per risolvere il primo punto? O per caso serve anche il concetto di rango di una matrice, che ancora non ho capito cos'è esattamente? E' semplicemente il numero di righe non nulle nella matrice? aka. devo ridurre la matrice a scala con Gauss e vedere quante righe non sono 0 in base a k? Oppure è il numero di righe/colonne (quale delle due?) linearmente indipendenti? Oppure è altro ancora? Oppure le due definizioni sono equivalenti (se sì, non capisco il collegamento)?
Nel provare a risolvere il primo punto ho provato a ridurre a scala la matrice con Gauss, per poi vedere quali sono le righe non nulle, e avrei considerato quello come rango, e quindi come Span(S) (di nuovo, se rango=Span, non capisco il perché) se vogliamo dare quello che mi dice ChatGPT come buono, e ho dei dubbi, ma chissà
Se così fosse, potreste aiutarmi a trattare k con la matrice ridotta a scala (che dovrebbe essere corretta...spero)? I parametri mi hanno sempre causato difficoltà
Matrice ridotta a scala:
$((k,-1,1),(0, (k^2-2)/k, (-k+2)/k),(0,0,(2k^2*(k-1))/(k*(k^2-2))))$
Spero di essere riuscito a trasmettere la mia confusione su questa roba
Grazie in anticipo a chiunque vorrà cercare di farmi capire queste cose
Risposte
Ben trovato!
Per il primo punto sei partito bene: come proseguiresti?
Per il primo punto sei partito bene: come proseguiresti?
proseguirei vedendo l'elemento in posizione (3,3) e vedo per quali valori di k è 0 in modo da avere tutta la terza riga 0, quindi quando
$k=0$, $k=1$
e quindi per questi valori di k il rango è 2 perché solo la prima e la seconda riga sono non nulle
nei casi $k=sqrt(2)$ e $k=-sqrt(2)$ l'elemento in posizione (2,2) si annulla, ma non si annulla quello in (2,3)
nel caso $k=2$, l'elemento in posizione (2,3) si annulla
quindi...mi verrebbe da dire che il rango sia 2, ma Span(S) chi è? e per calcolare la dimensione devo soltanto calcolarmi una base e vedere la sua cardinalità anche in questo caso?
inoltre mi faresti un enorme favore se potresti chiarirmi perché rango=Span e perché bisogna ridurre la matrice a scala e vedere quante righe sono non nulle per calcolare il rango. grazie!!
$k=0$, $k=1$
e quindi per questi valori di k il rango è 2 perché solo la prima e la seconda riga sono non nulle
nei casi $k=sqrt(2)$ e $k=-sqrt(2)$ l'elemento in posizione (2,2) si annulla, ma non si annulla quello in (2,3)
nel caso $k=2$, l'elemento in posizione (2,3) si annulla
quindi...mi verrebbe da dire che il rango sia 2, ma Span(S) chi è? e per calcolare la dimensione devo soltanto calcolarmi una base e vedere la sua cardinalità anche in questo caso?
inoltre mi faresti un enorme favore se potresti chiarirmi perché rango=Span e perché bisogna ridurre la matrice a scala e vedere quante righe sono non nulle per calcolare il rango. grazie!!
No, non mi trovo coi tuoi risultati!
Prova a scrivere quei vettori in una matrice, ed a determinarne il rango in funzione del parametro \(k\)!
Prova a scrivere quei vettori in una matrice, ed a determinarne il rango in funzione del parametro \(k\)!
cosa ho sbagliato? non capisco 
Non lo so: prova pubblicare i calcoli svolti!
li ho pubblicati in quel messaggio che ho inviato sopra, non saprei cosa altro devo fare
cosa intendi per scrivere quei vettori in una matrice e determinarne il rango in funzione di k? non è quello che ho già fatto (?)
cosa intendi per scrivere quei vettori in una matrice e determinarne il rango in funzione di k? non è quello che ho già fatto (?)
Inserendo per colonne quei vettori, e trasformando la matrice con delle mosse di Gauss (sulle colonne) io ottengo
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
-1 & k-1 & 0\\
2k & 2(k-1) & -2(k-1)^2(k+2)
\end{pmatrix}
\]
da sui per \(\displaystyle k=1\) ottieni \(\displaystyle\dim span(S)=1\), per \(\displaystyle k=-2\) ottieni \(\displaystyle\dim span(S)=2\), negli altri casi \(\displaystyle\dim span(S)=3\).
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
-1 & k-1 & 0\\
2k & 2(k-1) & -2(k-1)^2(k+2)
\end{pmatrix}
\]
da sui per \(\displaystyle k=1\) ottieni \(\displaystyle\dim span(S)=1\), per \(\displaystyle k=-2\) ottieni \(\displaystyle\dim span(S)=2\), negli altri casi \(\displaystyle\dim span(S)=3\).
ah, capito, quindi devo applicare Gauss sulle colonne e non sulle righe per trovare $dim span(S)$? oppure è uguale e ho sbagliato qualche calcolo io?
Sussolini, ma come facciamo a sapere se hai sbagliato qualcosa se non hai nemmeno scritto i conti che hai fatto? 
PS. Lascia perdere chatgpt.
PS. Lascia perdere chatgpt.
@sussolini In attesa che tu pubblichi i tuoi calcoli, io ho ragionato così: per te quelli sono vettori colonna, quindi io li ho inseriti come colonne di una matrice; e ho ragionato con delle mosse di Guass per colonne.
Se preferisci, puoi ragionare completamente per righe; ma puoi anche tranquillamente ragionare in maniera "mista"... sapresti scrivere il perché? Ma poi, ragionando in maniera "mista", calcoli solo il rango della matrice, ovvero la dimensione di \(\displaystyle span(S)\) e non altro: come mai?
Rifletti!
Se preferisci, puoi ragionare completamente per righe; ma puoi anche tranquillamente ragionare in maniera "mista"... sapresti scrivere il perché? Ma poi, ragionando in maniera "mista", calcoli solo il rango della matrice, ovvero la dimensione di \(\displaystyle span(S)\) e non altro: come mai?
Rifletti!
@Martino ho scritto la matrice ridotta a scala, ma più che altro non mi interessa sapere se è giusta o meno la riduzione a scala, mi interessa(va) sapere come trattare i parametri k nella determinazione del rango 
e magari il chiarimento di alcuni dubbi che ho espresso sopra
e magari il chiarimento di alcuni dubbi che ho espresso sopra
@j18eos
purtroppo non so il perché delle cose, mi limito a fare calcoli meccanici perché non ci capisco nulla di questa roba, come ho espresso nel messaggio iniziale (in cui era molto evidente la mia confusione, tanto che ho fatto duecento domande )
purtroppo non so il perché delle cose, mi limito a fare calcoli meccanici perché non ci capisco nulla di questa roba, come ho espresso nel messaggio iniziale (in cui era molto evidente la mia confusione, tanto che ho fatto duecento domande
)
[xdom="j18eos"]Ti ricordo i punti 1.1 e 1.2 del regolamento![/xdom]
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