Span e sottospazio vettoriale
Ciao a tutti vorrei sapere come dimostrare la seguente proposizione. Lo $Span(v_1,...,v_n)$ è il più piccolo sottospazio vettoriale contenente i vettori ${v_1,...,v_n}$. Grazie mille.
Risposte
"matteoorlandini":formalizzare quanto hai appena detto ed applicare le ipotesi con un po di teoria! Prova un po nell impostare un ragionamento..
Ciao a tutti vorrei sapere come dimostrare la seguente proposizione. Lo $Span(v_1,...,v_n)$ è il più piccolo sottospazio vettoriale contenente i vettori ${v_1,...,v_n}$. Grazie mille.
Pensavo a questo ragionamento: devo dimostrare che $Span (v_1,...,v_n)$ contiene ${v_1,...,v_n}$, è un sottospazio vettoriale ed infine è il più piccolo sottospazio contenente i vettori.
1. Lo span, da definizione, è la combinazione lineare dei ${v_1,...,v_n}$, cioè $d_1v_1+...+d_nv_n$, quindi prendendo come coefficiente di $v_1$, $d_1=1$ e $d_2,...,d_n=0$ ottengo $v_1$, che appartiene allo Span. Ripeto lo stesso ragionamento fino a $v_n$ e quindi lo Span contiene tutti i vettori ${v_1,...,v_n}$.
2. Lo $Span (v_1,...,v_n)$ da definizione è la combinazione lineare dei vettori ${v_1,...,v_n}$. Prendo i vettori $v=a_1v_1+...+a_nv_n$ e $w=b_1v_1+...+b_nv_n$ appartenenti allo span. Allora lo $Span (v_1,...,v_n)$ è chiuso per la somma perchè $v+w=(a_1+b_1)v_1+...+(a_n+b_n)v_n$ appartiente allo Span ed è chiuso per il prodotto per scalare perchè $cv=c(a_1v_1+...+a_nv_n)$ che appartiene ancora allo Span. Allora lo Span è un sottospazio vettoriale.
3. Prendo un sottospazio W che contiene ${v_1,...,v_n}$, da definizione di sottospazio questo è chiuso per la somma e per il prodotto per scalare. Cioè presi $w_1=e_1v_1+...+e_nv_n$ e $w_2=f_1v_1+...+f_nv_n$ allora $w_1+w_2=(e_1+f_1)v_1+...+(e_n+f_n)v_n$ appartiene a W, ma appartiene anche allo Span. A questo punto concludo che lo Span appartiene a W. Da quest'ultima affermazione posso dire dunque che lo Span è contenuto in W?
1. Lo span, da definizione, è la combinazione lineare dei ${v_1,...,v_n}$, cioè $d_1v_1+...+d_nv_n$, quindi prendendo come coefficiente di $v_1$, $d_1=1$ e $d_2,...,d_n=0$ ottengo $v_1$, che appartiene allo Span. Ripeto lo stesso ragionamento fino a $v_n$ e quindi lo Span contiene tutti i vettori ${v_1,...,v_n}$.
2. Lo $Span (v_1,...,v_n)$ da definizione è la combinazione lineare dei vettori ${v_1,...,v_n}$. Prendo i vettori $v=a_1v_1+...+a_nv_n$ e $w=b_1v_1+...+b_nv_n$ appartenenti allo span. Allora lo $Span (v_1,...,v_n)$ è chiuso per la somma perchè $v+w=(a_1+b_1)v_1+...+(a_n+b_n)v_n$ appartiente allo Span ed è chiuso per il prodotto per scalare perchè $cv=c(a_1v_1+...+a_nv_n)$ che appartiene ancora allo Span. Allora lo Span è un sottospazio vettoriale.
3. Prendo un sottospazio W che contiene ${v_1,...,v_n}$, da definizione di sottospazio questo è chiuso per la somma e per il prodotto per scalare. Cioè presi $w_1=e_1v_1+...+e_nv_n$ e $w_2=f_1v_1+...+f_nv_n$ allora $w_1+w_2=(e_1+f_1)v_1+...+(e_n+f_n)v_n$ appartiene a W, ma appartiene anche allo Span. A questo punto concludo che lo Span appartiene a W. Da quest'ultima affermazione posso dire dunque che lo Span è contenuto in W?
La mia dimostrazione è accettabile?
direi di si. è praticamente identica a quella fornita dal testo che ti ho indicato.
Grazie
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