Span di funzioni.
[size=85]Buonasera, avrei un dubbio inerente al sottospazio generato, in particolare quando i vettori sono funzioni.
Mi spiego meglio, considerando lo spazio vettoriale delle funzioni da $RR$ in $RR$ il quale lo indico con $F_(RR)$ inoltre, considero lo $Span(f_1, f_2)$ dove $f_1, f_2, f in F_(RR)$.
Ora chiedere $f in Span(f_1, f_2)$ equivale a risolvere $f=af_1+bf_2, forall x in RR ,$ cioè occorre determinare gli scalari $a,b$ per cui viene verificata l'equazione vettoriale.
Il punto che non riesco a formalizzare del perché deve essere verificata per ogni $x in RR$, una "mezza" risposta me l'avrei data cioè:
concettualmente le possibili combinazione lineari dei vettori $f_1, f_2$ sono determinate dalla variazione degli scalari $a,b in RR$ quindi, questo significa appunto determinare opportuni scalari che verificano tale relazione inoltre, ricordo che le funzioni sono caratterizzate dal modo in cui agiscono cioè, per ogni $x in RR$ associa un ben determinato valore del codominio $y in RR$ quindi siamo condotti ad analizzare l'equazione nell'incognite $a, b$.
Mi potreste dare una mano a formalizzarlo questo mio dubbio.
Grazie in anticipo
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Mi spiego meglio, considerando lo spazio vettoriale delle funzioni da $RR$ in $RR$ il quale lo indico con $F_(RR)$ inoltre, considero lo $Span(f_1, f_2)$ dove $f_1, f_2, f in F_(RR)$.
Ora chiedere $f in Span(f_1, f_2)$ equivale a risolvere $f=af_1+bf_2, forall x in RR ,$ cioè occorre determinare gli scalari $a,b$ per cui viene verificata l'equazione vettoriale.
Il punto che non riesco a formalizzare del perché deve essere verificata per ogni $x in RR$, una "mezza" risposta me l'avrei data cioè:
concettualmente le possibili combinazione lineari dei vettori $f_1, f_2$ sono determinate dalla variazione degli scalari $a,b in RR$ quindi, questo significa appunto determinare opportuni scalari che verificano tale relazione inoltre, ricordo che le funzioni sono caratterizzate dal modo in cui agiscono cioè, per ogni $x in RR$ associa un ben determinato valore del codominio $y in RR$ quindi siamo condotti ad analizzare l'equazione nell'incognite $a, b$.
Mi potreste dare una mano a formalizzarlo questo mio dubbio.
Grazie in anticipo
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Risposte
Beh, nulla di misterioso: scrivere $f = a_1 f_1 + a_2 f_2$ per definizione equivale a scrivere che è soddisfatta ovunque (cioè per ogni $x$ nel dominio comune delle tre funzioni) l’uguaglianza puntuale $f(x) = a_1 f_1(x) + a_2 f_2(x)$.
Ricorda che due funzioni sono uguali quando hanno uguali dominio, codominio e legge di assegnazione.
Ricorda che due funzioni sono uguali quando hanno uguali dominio, codominio e legge di assegnazione.
Grazie gugo82
Se volessi fare un un'esercizio o esempio, tipo prendo
$f=3+x^2, f_1=sin^2, f_2=cos^2$ considero
$3+x^2=a_1sin^2(x)+a_2cos^2(x), forall x in RR, a_1, a_2 in RR.$
A questo punto devo osservare che facendo variare $x$ a primo membro quello che ottengo lo devo ottenere relativamente ad $x$ al secondo membro per opportuni scalari $a_1,a_2$ quindi, se valuto $x_0=π, x_1=0$ si ha rispettivamente $3+π^2=a_2$, $3=a_2.$
Quindi $f$ non è combinazione lineare di $f_1,f_2$ poiché con due valori distinti di $x $abbiamo due valori distinti degli scalari $a_1,a_2$.
Invece se fosse stato $f=a$ con $a ne 1$ costante sarebbe stata combinazione lineare.
Se volessi fare un un'esercizio o esempio, tipo prendo
$f=3+x^2, f_1=sin^2, f_2=cos^2$ considero
$3+x^2=a_1sin^2(x)+a_2cos^2(x), forall x in RR, a_1, a_2 in RR.$
A questo punto devo osservare che facendo variare $x$ a primo membro quello che ottengo lo devo ottenere relativamente ad $x$ al secondo membro per opportuni scalari $a_1,a_2$ quindi, se valuto $x_0=π, x_1=0$ si ha rispettivamente $3+π^2=a_2$, $3=a_2.$
Quindi $f$ non è combinazione lineare di $f_1,f_2$ poiché con due valori distinti di $x $abbiamo due valori distinti degli scalari $a_1,a_2$.
Invece se fosse stato $f=a$ con $a ne 1$ costante sarebbe stata combinazione lineare.
Certo.
Ovviamente puoi anche usare considerazioni di tipo più analitico. Ad esempio, il primo membro non è limitato superiormente, mentre il secondo sì per ogni scelta delle costanti; perciò non può sussistere l’uguaglianza per nessuna scelta delle costanti.
Ovviamente puoi anche usare considerazioni di tipo più analitico. Ad esempio, il primo membro non è limitato superiormente, mentre il secondo sì per ogni scelta delle costanti; perciò non può sussistere l’uguaglianza per nessuna scelta delle costanti.
Grazie gugo82 come sempre sei super chiaro quindi, potrei considerare le funzioni a primo membro come
$f_1(x)=logx,f_2(x)=sqrtx, f_3(x)=P_a(x)_(a ge1), f_4(x)=a^x \:\ a in RR^(+)-{1}$ invece, funzioni limitate per il secondo membro potrei prendere le funzioni trigonometriche, funzioni costante se ne posso considerare altre ovviamente.
Ma potrebbe capitare una funzione definita per casi dove presenta un punto di discontinuità eliminabile
In quel caso occorre ridefinirla ?
quindi, potrei considerare le funzioni a primo membro come $f_1(x)=logx,f_2(x)=sqrtx, f_3(x)=P_a(x)_(a ge1), f_4(x)=a^x \:\ a in RR^(+)-{1}$ invece, funzioni limitate per il secondo membro potrei prendere le funzioni trigonometriche, funzioni costante se ne posso considerare altre ovviamente.
Ma potrebbe capitare una funzione definita per casi dove presenta un punto di discontinuità eliminabile
In quel caso occorre ridefinirla ?
No,non c'è bisogno.
Grazie mille
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