Sottovarietà integrale

[erasmulfo1]

Ciao!
Sono alleprese con le varietà differenziabili, esattamente con le distribuzioni. Ora il mio problema è che la teoria più o meno la riesco a capire, ma la pratica...non lho mai vista nè la trovo su internet!!
Diciamo che ho due campi vettoriali indipendenti su un aperto di R3, che formano quindi una distribuzione di rango 2. Mi si dice di trovare una, anzi la sottovarietà integrale massimale per tale distribuzione. Come faccio? So che la distribuzione è involutiva, quindi si può...ma che conti devo fare?
Una sottovarietà è una funzione da Y varietà al mio R3...che sia embedding...è tutto così astratto!
Io immagino che Y sia un sottoinsieme di R3, o almeno lo spero!!
Come idea che mi è venuta così, ho provato a porre f funzione liscia tale che v(f)=w(f)=0, dove v e w sono i campi vettoriali, e...beh non sono neanche molto bravo nel risolvere le PDE, (sono un matematico che non sa fare matematica, ma la colpa è in massima parte dell università, insegnatemi anche un po di matematica pratica!!!) Comunque, trovo due PDE, che mi dicono che la mia f ha una certa forma...ma anche così, cosa ho trovato? Dov è la sottovarietà integrale Y?
aiutatemi vi prego, magari con un esempio pratico, tipo questo:
$$
v=-yd_x +xd_y
$$
$$
w=-zd_y+yd_z
$$
Qui ho indicato le derivazioni parziali con le d e i pedici

[ciampax]

Sostanzialmente hai già detto tutto, devi solo fare un po' di conti. La sottovarietà integrale definita da due campi $X, Y$ è definita anche come luogo degli zeri delle funzioni per cui $X(f)=0,\ Y(f)=0$. In altri termini (più pratici) cerca le forme $\omega=a\ dx+b\ dy+c\ dz$ tali che $\omega(v)=0,\ \omega(w)=0$. Poiché, come mi pare di capire,
$$v=-y\frac{\partial}{\partial x}+x\frac{\partial}{\partial y},\qquad w=-z\frac{\partial}{\partial y}+y\frac{\partial}{\partial z}$$
abbiamo
$$0=\omega(v)=-ay+bx,\qquad 0=\omega(w)=-bz+cy$$
da cui
$$a=b\cdot\frac{x}{y},\qquad c=b\cdot\frac{z}{y}$$
con $a,b,c\in C^\infty(RR^3)$. Possiamo scegliere $b=y$ e ricavare la forma (le altre sono "multipli" di questa)
$$\omega=x\ dx+y\ dy+z\ dz$$
che genera lo spazio. Integrando quest'ultima si trova
$$df=\omega\ \Rightarrow\ f=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+c$$
e pertanto la nostra varietà integrale è una sfera.