Sottospazio vettoriale r^4 e base del sottospazio
si consideri il seguente sottoinsieme di $ r^4 $
(x,y,z,t) di $r^4$ t.c
x+2y-2z+t=0
x-y-z-t=0
1.stabilisci se il suddetto sottoinsieme è sottospazio di $r^4$
l'idea che mi e venuta è farne la matrice dei coefficenti associata,ridurla a scala mediante l algoritmo di gauss e se il rango e pari al num di righe della matrice significa che i 2 vettori trovati sono linearmente indipendenti tra di loro.è una condizione sufficente per dimostrare che esso è sottospazio di $r^4$ ? o sbaglio?
2.trova una base
l'altra idea che mi è venuta e includere i 2 vettori riga che mi sono risultati dalla riduzione a scala della matrice,e aggiungere i vettori
v3=(0,0,1,0)
v4=(0,0,0,1)
avrò una base completa?ho 4 vettori linearmente indipendenti tra di loro a questo punto...
mi aiutate?
(x,y,z,t) di $r^4$ t.c
x+2y-2z+t=0
x-y-z-t=0
1.stabilisci se il suddetto sottoinsieme è sottospazio di $r^4$
l'idea che mi e venuta è farne la matrice dei coefficenti associata,ridurla a scala mediante l algoritmo di gauss e se il rango e pari al num di righe della matrice significa che i 2 vettori trovati sono linearmente indipendenti tra di loro.è una condizione sufficente per dimostrare che esso è sottospazio di $r^4$ ? o sbaglio?
2.trova una base
l'altra idea che mi è venuta e includere i 2 vettori riga che mi sono risultati dalla riduzione a scala della matrice,e aggiungere i vettori
v3=(0,0,1,0)
v4=(0,0,0,1)
avrò una base completa?ho 4 vettori linearmente indipendenti tra di loro a questo punto...
mi aiutate?
Risposte
Ciao, un po' di chiarezza.
Il tuo procedimento per mostrare che quello è un sottospazio non mi è chiaro.
Semplicemente, stiamo parlando di un sottoinsieme di $\mathbb{R}^4$ caratterizzato da due equazioni, che prendono il nome di equazioni cartesiane.
Ora, è abbastanza facile mostrare che se le equazioni cartesiane sono lineari e omogenee, allora abbiamo un sottospazio.
Lineari lo sono (tutti i termini sono di primo grado, questo significa lineari).
Omogenee pure (manca il termine noto).
Fine.
Quanto alla base, non va.
Scusa, se avessi una base di quattro vettori, allora significa che il sottospazio ha dimensione 4. Può essere questo, con due equazioni cartesiane?
Il tuo procedimento per mostrare che quello è un sottospazio non mi è chiaro.
Semplicemente, stiamo parlando di un sottoinsieme di $\mathbb{R}^4$ caratterizzato da due equazioni, che prendono il nome di equazioni cartesiane.
Ora, è abbastanza facile mostrare che se le equazioni cartesiane sono lineari e omogenee, allora abbiamo un sottospazio.
Lineari lo sono (tutti i termini sono di primo grado, questo significa lineari).
Omogenee pure (manca il termine noto).
Fine.
Quanto alla base, non va.
Scusa, se avessi una base di quattro vettori, allora significa che il sottospazio ha dimensione 4. Può essere questo, con due equazioni cartesiane?
Si consideri il seguente sottoinsieme di $R^4$:
(x,y,z,t) di $RR^4$ t.c
$x+2y-2z+t=0$
$x-y-z-t=0$
Prova a risolvere il sistema delle due equazioni rispetto a $x$ e $y$ (considerando cioè
$z$ e $t$ come variabili ausiliarie) e troverai in seguito una base del sottospazio.
(x,y,z,t) di $RR^4$ t.c
$x+2y-2z+t=0$
$x-y-z-t=0$
Prova a risolvere il sistema delle due equazioni rispetto a $x$ e $y$ (considerando cioè
$z$ e $t$ come variabili ausiliarie) e troverai in seguito una base del sottospazio.
Grazie franced...
Si consideri il seguente sottoinsieme E di $r^4$
(x,y,z,t) di t.c
$x+2y-2z+t=0$
$x-y-z-t=0$
1.Stabilisci se E è un sottospazio di $r^4$
2.In caso affermativo trova una base per E
ok.ho preso la matrice dei coefficienti associata formata da 2 righe e 4 colonne
$[+1 +2 -2 +1]$
$[+1 -1 -1 -1]$
la riduco a scala con l'algoritmo di gauss ottenendo la seguente matrice
$[+1 +2 -2 +1]$
$[0 -3 +1 -2]$
considero t e z come i parametri liberi del seguente sistema
$x+2y-2z+t=0$
$-3y+z-2t=0$
da cui ho
$y=-2/3t+1/3z$
$x=7/3t-8/3z$
per cui la soluzione generale del sistema
$(x,y,z,t) = (+7/3t-8/3z , -2/3t+1/3z , +z ,+ t)$
$z (-8/3,+1/3,+1,0) + t (+7/3,-2/3,0,+1)$
ho trovato 2 vettori generatori di base suppongo in questo modo...ditemi se è giusto
perdonate la mia domanda; ma per essere una base non ne devo avere 4 di vettori?qui ne ho trovati 2....nello svolgimento dell esercizio ho dimostrato che E è sottospazio?
Si consideri il seguente sottoinsieme E di $r^4$
(x,y,z,t) di t.c
$x+2y-2z+t=0$
$x-y-z-t=0$
1.Stabilisci se E è un sottospazio di $r^4$
2.In caso affermativo trova una base per E
ok.ho preso la matrice dei coefficienti associata formata da 2 righe e 4 colonne
$[+1 +2 -2 +1]$
$[+1 -1 -1 -1]$
la riduco a scala con l'algoritmo di gauss ottenendo la seguente matrice
$[+1 +2 -2 +1]$
$[0 -3 +1 -2]$
considero t e z come i parametri liberi del seguente sistema
$x+2y-2z+t=0$
$-3y+z-2t=0$
da cui ho
$y=-2/3t+1/3z$
$x=7/3t-8/3z$
per cui la soluzione generale del sistema
$(x,y,z,t) = (+7/3t-8/3z , -2/3t+1/3z , +z ,+ t)$
$z (-8/3,+1/3,+1,0) + t (+7/3,-2/3,0,+1)$
ho trovato 2 vettori generatori di base suppongo in questo modo...ditemi se è giusto
perdonate la mia domanda; ma per essere una base non ne devo avere 4 di vettori?qui ne ho trovati 2....nello svolgimento dell esercizio ho dimostrato che E è sottospazio?
Il sottospazio ha dimensione 2, quindi la base deve avere 2 soli vettori!
I conti non li ho fatti, ma il procedimento che hai fatto mi sembra ok.
I conti non li ho fatti, ma il procedimento che hai fatto mi sembra ok.
continuo a non capire...perchè il sottospazio ha dimensione 2? 
qual è la condizione necessaria e sufficiente affinchè E sia sottospazio?
qual è la condizione necessaria e sufficiente affinchè E sia sottospazio?
avrei un sistema lineare che non è omogeneo...........mmmm........nn mi viene altro.....che avrei dovuto fare? 
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