Sottospazio vettoriale, dimensione e base

[Musicam]

Salve, ho questo sistema e devo determinare la dimensione e una base.

$x_1+x_3-x_4=0$
$3x_1-x_2+3x_3-4x_4=0$
$-2x_2-2x_4=0$


cosa devo fare?
devo determinare la matrice associata, calcolare il rango??

per la dimensione devo usare la formula (numero incognite)-(rango)????

mi aiutate?

[Quinzio]

E' un sistema, avrai da trovare le soluzioni. No ?
Costruisci la matrice associata, quindi trovi il nullspace.

[Musicam]

non ho capito..cosa devo fare dopo aver trovato le soluzioni?

[Quinzio]

Trovare il nullspace (o nucleo, nullità, kernel).

[Musicam]

cioè??? saresti così gentile da aiutarmi a farlo?

[giuliodanieli]

Il Ker è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo.

La dimensione è data quindi dai vettori lienarmente indipendenti.

quindi messa in forma matriciale diventa:

$((1,0,1,-1),(3,-1,3,-4),(0,-2,0,-2))$

svolgendo risulta

$((1,0,1,-1),(0,-1,0,-1),(0,-2,0,-2))$

...le ultime due righe sono proporzionali
perciò:

$((1,0,1,-1),(0,-1,0,-1),(0,0,0,0))$


quindi la dimensione è 2 in quanto una sua base è data dalle righe indipendenti quindi dalle equazioni

$\{(x+z-t=0),(3x-y+3z-4t=0):}$

otteniamo
$t=K$
$x=-t-z$
$y=-t$

l'insieme delle soluzioni del ker è ${(k-h;-k;h;k)|h,k$$in$$R}$

quindi una base di ker è $B=(1;-1;0;1),(-1;0;1;0)$

dovrebbe essere così aspetta conferma da qualche guru

[Musicam]

ma devo per forza usare la regola di Gauss?? altrimenti??

[giuliodanieli]

No assolutamente, l'ho utilizzata perché mi sembrava potesse aiutarti a capire l'esercizio. In realtà basta risolvere il sistema omogeneo e una volta trovate le soluzioni la dimensione è data dal numero di basi.

[Musicam]

mmmm e quindi come lo posso risolvere più?