Sottospazio vettoriale di un polinomio

[mdonatie]

Ciao ragazzi, volevo chiedervi se il mio ragionamento era giusto.
Dato uno spazio vettoriale $P_4={a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 in RR}$ e il sottospazio $S={p(x) in P_4 : p(0)=1}$.
Esistenza del vettore nullo:
verificata già dalla condizione $p(0)=1$
Quindi $a_0=1$ $AA a_i in RR , i=(0,1,2,3,4)$

S è chiuso rispetto alla somma:
$a_0+a_1(0)+a_2(0)^2+a_3(0)^3+a_4(0)^4+b_0+b_1(0)+b_2(0)^2+b_3(0)^3+b_4(0)^4=1$
$a_0+b_0=1$ $AA a_i, b_i in RR , i=(0,1,2,3,4)$

S è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare:
$\lambda(a_0+a_1(0)+a_2(0)^2+a_3(0)^3+a_4(0)^4)=1$
$\lambdaa_0=1$ $AA\lambda in K , AA a_i in RR , i=(0,1,2,3,4)$

Perciò ne deduco che S è un sottospazio di P_4. Giusto?

[Shocker1]

No aspetta... $P_4$ è uno spazio vettoriale di polinomi(Insomma è $R_4[x]$), quindi il vettore nullo è il polinomio nullo, non la $x$ in cui viene valutato il polinomio! Il polinomio nullo certamente non appartiene ad $S$ perché $p(x) = 0 \forall x$ quindi $p(0) = 0 != 1$.
Per la somma, se $p, q \in S$ allora $p(0) = 1 \wedge q(0) = 1$, quindi $(p+q)(0) = p(0) + q(0) = 1+1 = 2 \Rightarrow (p+q)(x) \notin S$
Per il prodotto per scalari, se $\lambda \in R$ e $p \in S$ allora deve essere $\lambda \cdot p \in S$ il che equivale a dire che $\lambda \cdot p(0) = 1$ ma dato che $p(0) = 1$ perché $\p in S$ allora $\lambda = 1$.

$S$ non è un sottospazio vettoriale perché non contiene il vettore nullo e non è chiuso né rispetto alla somma né rispetto al prodotto per scalari.


Ciao