Sottospazio vettoriale detto anche SPAN

[zio_mangrovia]

siano $x_1, x_2, ..., x_n$ $$ $n$ vettori $inRR^n$, si definisce span o il sottospazio da essi generato:
$\langle$ $x_1, x_2, ..., x_n$ $\rangle$ $=$ ${x inRR^n:EE\alpha_iinRR, \sum_{i=1}^n\alpha_ix_i}$

Mi pongo queste due domande:

[list=1]
[*:dtop6zuo]nella definizione $\alpha_i$ può appartenere anche all'insieme dei $CC$ ? Oppure soltanto a $RR$ ?[/*:dtop6zuo]
[*:dtop6zuo]possiamo definire $x_1, x_2, ..., x_n$ appartenenti ad uno spazio vettoriale generico $X$ anziché $RR^n$ ?[/*:dtop6zuo]
[/list:o:dtop6zuo]

[Bremen000]

Ciao, la definizione corretta di span é la seguente:

$\langle$ $x_1, x_2, ..., x_N$ $\rangle$ $=$ ${x inRR^n:EE\alpha_1, ..., \alpha_N inRR : x=\sum_{i=1}^N\alpha_ix_i}$

Nota che i vettori possono essere in numero finito qualsiasi, non necessariamente tanti quanti la dimensione dello spazio.

"zio_mangrovia":
nella definizione $ \alpha_i $ può appartenere anche all'insieme dei $ CC $ ? Oppure soltanto a $ RR $?

I coefficienti devono appartenere al campo sui cui è definito lo spazio vettoriale, $RR^n$ è uno spazio vettoriale su $RR$.

"zio_mangrovia":possiamo definire $ x_1, x_2, ..., x_n $ appartenenti ad uno spazio vettoriale generico $ X $ anziché $ RR^n $ ?

Certo, lo span si può fare in qualsiasi spazio vettoriale.

[killing_buddha]

"Bremen000":$RR^n$ è uno spazio vettoriale su $RR$.

Più precisamente: $RR^n$ è anche uno spazio vettoriale su $QQ(\sqrt{7})$, tuttavia la prassi è di considerare sempre $K^n$ come spazio vettoriale su $K$, senza aggiungere altro.

Nota che puoi considerare un campo $F$ un $K$-spazio vettoriale quando \(K\hookrightarrow F\), ma non quando vige l'inclusione inversa.

[Bremen000]

Ciao killing,
non avevo mai pensato a questa cosa: mi sono sempre messo i paraocchi e non ho mai considerato alternative a $K^n$ s.v. su $K$. Dai sempre degli ottimi spunti, grazie!