Sottospazio vettoriale al variare di h
Come si procede con un esercizio di questo tipo?
Si consideri il seguente sottoinsieme di $RR4: K = {(x;y;z;t):(h^2-1)z^2-t=h+1}$
Si stabilisca per quali valori del parametro reale h K e un sottospazio vettoriale di R4.
Allora per essere un sottospazio vettoriale deve contenere il vettore nulle e deve verificare che $λ(x,y,z,t)+μ(a,b,c,d)inK$, ma non so proprio come procede.
Posso iniziare a verificare il primo punto magari scrivendomi l'equazione in funzione di t: $t=(h^2-1)z^2-h-1$. Ora, se il vettore nullo deve appartenere a $K={(x,y,z,(h^2-1)z^2-h-1)|x,y,zinRR}$ con $x,y,z=0$, $(h^2-1)z^2-h-1=0 <=> h=-1$, ma se vado a sostituire h=-1 K risulta essere ${(x,y,z,0)|x,y,zinRR}$ e questo è un sottospazio vettoriale. Non so se è giusto, grazie
Si consideri il seguente sottoinsieme di $RR4: K = {(x;y;z;t):(h^2-1)z^2-t=h+1}$
Si stabilisca per quali valori del parametro reale h K e un sottospazio vettoriale di R4.
Allora per essere un sottospazio vettoriale deve contenere il vettore nulle e deve verificare che $λ(x,y,z,t)+μ(a,b,c,d)inK$, ma non so proprio come procede.
Posso iniziare a verificare il primo punto magari scrivendomi l'equazione in funzione di t: $t=(h^2-1)z^2-h-1$. Ora, se il vettore nullo deve appartenere a $K={(x,y,z,(h^2-1)z^2-h-1)|x,y,zinRR}$ con $x,y,z=0$, $(h^2-1)z^2-h-1=0 <=> h=-1$, ma se vado a sostituire h=-1 K risulta essere ${(x,y,z,0)|x,y,zinRR}$ e questo è un sottospazio vettoriale. Non so se è giusto, grazie
Risposte
Tutto corretto: $K$ è un sottospazio vettoriale di $RR^4$ se e solo se $h = -1$.
Grazie mille, quindi il procedimento è questo?
Ti manca solo di provare formalmente che $K={(x,y,z,t)| t=0}$ è sottospazio vettoriale, se non l'hai già fatto.
Comunque, sì, il procedimento è questo
Comunque, sì, il procedimento è questo
E se io avessi voluto procedere semplicemente dicendo che un sottospazio è l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo e che, quindi, non può contenere termini di ordine superiore al primo ($z^2$), né termini noti ($h+1$)?
Insomma, se volessi procedere prendendo queste condizioni $\{(h^2-1=0),(h+1=0):}$ sarebbe sbagliato oppure corretto?
Insomma, se volessi procedere prendendo queste condizioni $\{(h^2-1=0),(h+1=0):}$ sarebbe sbagliato oppure corretto?
Sì, poteva andare.
Ti faccio notare che chiedere che non ci siano termini noti non nulli è equivalente a imporre che il vettore nullo appartenga all'insieme.
Ti faccio notare che chiedere che non ci siano termini noti non nulli è equivalente a imporre che il vettore nullo appartenga all'insieme.
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